Çözüldü 2. Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler (5 Soru)

Konusu 'Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları' forumundadır ve Samettt19 tarafından 10 Aralık 2017 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Samettt19

    Samettt19 Yeni Üye

    Mesajlar:
    4
    Beğenileri:
    1
    Cinsiyet:
    Bay
    Son düzenleme: 10 Aralık 2017

  2. Benzer Konular: Mertebeden Lineer
    Forum Başlık Tarih
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Birinci Mertebeden ve Lineer Olmayan Diferansiyel Denklem 18 Aralık 2017
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları 4. Mertebeden Lineer ve Sabit Katsayılı İkinci Taraflı Diferansiyel Denklem 18 Mayıs 2017
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Birinci Mertebeden (First Order) Lineer Diferansiyel Denklemler 22 Aralık 2016
    Matematik - Geometri Üçüncü Mertebeden Türev - Maksimum Alanlı Dikdörtgende Çevre 25 Aralık 2017
    Analitik Geometri Ve Uzay Geometrisi Uzayda Lineer Bağımsız Vektörler - Üç Boyutlu Determinantlar 7 Temmuz 2018

  3. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    2.659
    Beğenileri:
    354
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Soru - 1
    y'' + 4y' + 4y = 4x^2 + 4x - 6, y(0) = 2, y'(0) = -10

    r^2 + 4r + 4 = 0 ⇒ (r + 2)^2 = 0 ⇒ r = -2, (iki katlı kök)

    y1 = (C1 + C2·x)·e^(-2x)

    y2 = ax^2 + bx + c ⇒ y2' = 2ax + b ⇒ y2'' = 2a

    2a + 4(2ax + b) + 4(ax^2 + bx + c) = 4x^2 + 4x - 6

    4ax^2 + (8a + 4b)x + 2a + 4b + 4c = 4x^2 + 4x - 6

    4a = 4 ⇒ a = 1

    8a + 4b = 4 ⇒ b = 1 - 2a = 1 - 2 = -1

    2a + 4b + 4c = -6 ⇒ c = (-3 - 2b - a) / 2 = (-3 + 2 - 1) / 2 = -1

    y2 = x^2 - x - 1

    y = y1 + y2 = (C1 + C2·x)·e^(-2x) + x^2 - x - 1

    y(0) = C1 - 1 = 2 ⇒ C1 = 3

    y ' = C2·e^(-2x) + (C1 + C2·x)·[ -2e^(-2x) ] + 2x - 1

    y '(0) = C2 + (3 + 0)(-2) - 1 = -10 ⇒ C2 - 7 = -10 ⇒ C2 = -3

    y = (3 - 3x)·e^(-2x) + x^2 - x - 1 = -3(x - 1)·e^(-2x) + x^2 - x - 1

    WolframAlpha'nın istediği şekilde düzenlenirse; y = x^2 - x - 3[e^(-2x)](x - 1) - 1

    http://www.wolframalpha.com/input/?i=y'' + 4y' + 4y = 4x^2 + 4x - 6, y(0) = 2, y'(0) = -10
    ---
    Soru - 2
    y'' - 8y' + 16y = 6e^(4x), y(0) = 1, y'(0) = 7

    r^2 - 8r + 16 = 0 ⇒ (r - 4)^2 = 0 ⇒ r = 4 (iki katlı kök)

    y1 = (C1 + C2·x)·e^(4x)

    y2 = A·(x^2)·e^(4x)

    y2 ' = 2A·x·e^(4x) + 4A·(x^2)·e^(4x)

    y2 '' = 2Ae^(4x) + 8A·x·e^(4x) + 8A·x·e^(4x) + 16A·(x^2)·e^(4x)

    y2 '' = 2Ae^(4x) + 16A·x·e^(4x) + 16A·(x^2)·e^(4x)

    2Ae^(4x) + 16A·x·e^(4x) + 16A·(x^2)·e^(4x) - 8[ 2A·x·e^(4x) + 4A·(x^2)·e^(4x) ] + 16A·(x^2)·e^(4x) = 6e^(4x)

    2Ae^(4x) + 16A·x·e^(4x) + 16A·(x^2)·e^(4x) - 16A·x·e^(4x) - 32A·(x^2)·e^(4x) + 16A·(x^2)·e^(4x) = 6e^(4x)

    2A = 6 ⇒ A = 3 ⇒ y2 = 3(x^2)·e^(4x)

    y = y1 + y2 = (C1 + C2·x)·e^(4x) + 3(x^2)·e^(4x)

    y = (C1 + C2·x + 3x^2)·e^(4x)

    y(0) = (C1 + 0 + 0)·1 = 1 ⇒ C1 = 1

    y ' = (C2 + 6x)·e^(4x) + (C1 + C2·x + 3x^2)·4e^(4x)

    y '(0) = C2 + (1 + 0 + 0)·4 = 7 ⇒ C2 = 3

    y = (3x^2 + 3x + 1)·e^(4x)

    y = [ e^(4x) ]·(3x^2 + 3x + 1)

    WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=y'' - 8y' + 16y = 6e^(4x), y(0) = 1, y'(0) = 7
    ---
    Soru - 3
    y'' - y = 5sin(-2x), y(0) = -2, y'(0) = 10

    r^2 - 1 = 0 ⇒ r = ∓1

    y1 = C1·e^x + C2·e^(-x)

    y2 = C3·sin(2x) + C4·cos(2x)

    y2 ' = 2C3·cos(2x) - 2C4·sin(2x)

    y2 '' = -4C3·sin(2x) - 4C4·cos(2x)

    -4C3·sin(2x) - 4C4·cos(2x) - [ C3·sin(2x) + C4·cos(2x) ] = -5sin(2x)

    -5C3·sin(2x) - 5C4·cos(2x) = -5sin2x

    C3 = 1, C4 = 0

    y2 = sin(2x)

    y = y1 + y2 = C1·e^x + C2·e^(-x) + sin(2x)

    y(0) = C1 + C2 + 0 = -2....(I)

    y ' = C1·e^x - C2·e^(-x) + 2cos(2x)

    y '(0) = C1 - C2 + 2 = 10 ⇒ C1 - C2 = 8....(II)

    (I) ve (II) denklemlerinden C1 = 3, C2 = -5

    y = 3e^x - 5e^(-x) + sin(2x)

    y = -5^(-x + 3e^x + sin(2x)

    WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=y'' - y = 5sin(-2x), y(0) = -2, y'(0) = 10
    ---
    Soru - 4
    y'' + 25y = -10sin(5x), y(0) = 5, y'(0) = 26

    r^2 + 25 = 0 ⇒ r = 0 ∓ 5i

    y1 = [ e^(0x) ]·[ C1·cos(5x) + C2·sin(5x) ] = C1·cos(5x) + C2·sin(5x)

    y2 = x·[ C3·sin(5x) + C4·cos(5x) ]

    y2 ' = [ C3·sin(5x) + C4·cos(5x) ] + x·[ 5C3·cos(5x) - 5C4·sin(5x) ]

    y2 '' = 5C3·cos(5x) - 5C4·sin(5x) + 5C3·cos(5x) - 5C4·sin(5x) + x·[ -25C3·sin(5x) - 25C4·cos(5x) ]

    y2 '' = 10C3·cos(5x) - 10C4·sin(5x) - 25x·[ C3·sin(5x) + C4·cos(5x) ]

    10C3·cos(5x) - 10C4·sin(5x) - 25x·[ C3·sin(5x) + C4·cos(5x) ] + 25x·[ C3·sin(5x) + C4·cos(5x) ] = -10sin(5x)

    10C3·cos(5x) - 10C4·sin(5x) = -10sin(5x)

    10C3 = 0 ⇒ C3 = 0, -10C4 = -10 ⇒ C4 = 1

    y2 = x·cos(5x)

    y = y1 + y2 = C1·cos(5x) + C2·sin(5x) + x·cos(5x) = (C1 + x)·cos(5x) + C2·sin(5x)

    y(0) = C1 + 0 + 0 = 5 ⇒ C1 = 5

    y ' = cos(5x) - 5(C1 + x)·sin(5x) + 5C2·cos(5x)

    y '(0) = 1 - 5(5 + 0)·0 + 5C2·1 = 26 ⇒ 5C2 = 25 ⇒ C2 = 5

    y = (x + 5)·cos(5x) + 5·sin(5x)

    y = 5·sin(5x) + (x + 5)·cos(5x)

    WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=y'' + 25y = - 10sin(5x), y(0) = 5, y'(0) = 26
    ---
    Soru - 5
    y'' - 6y' + 18y = -34e^(-2x) - 18x - 30, y(0) = 2, y'(0) = 10

    r^2 - 6r + 18 = 0 ⇒ r = 3 ∓ 3i

    y1 = [ e^(3x) ]·[ C1·cos(3x) + C2·sin(3x) ]

    y2 = A·e^(-2x)

    y2 ' = -2A·e^(-2x), y2 '' = 4A·e^(-2x)

    4A·e^(-2x) - 6·[ -2A·e^(-2x) ] + 18A·e^(-2x) = -34e^(-2x)

    34A = -34 ⇒ A = -1

    y2 = -e^(-2x)

    y3 = a·x + b, y3' = a, y3 '' = 0

    0 - 6a + 18(a·x + b) = -18x - 30

    18a·x - 6a + 18b = -18x - 30

    18a = -18 ⇒ a = -1

    -6a + 18b = -30

    -6(-1) + 18b = -30 ⇒ b = -2

    y3 = -x - 2

    y = y1 + y2 + y3 = [ e^(3x) ]·[ C1·cos(3x) + C2·sin(3x) ] - e^(-2x) - x - 2

    y(0) = 1·(C1 + 0) - 1 - 0 - 2 = 2 ⇒ C1 = 5

    y ' = 3[ e^(3x) ]·[ C1·cos(3x) + C2·sin(3x) ] + [ e^(3x) ]·[ -3C1·sin(3x) + 3C2·cos(3x) ] + 2e^(-2x) - 1

    y '(0) = 3(5 + 0) + 1·(0 + 3C2) + 2 - 1 = 10 ⇒ 3C2 = 10 - 16 ⇒ C2 = -2

    y = [ e^(3x) ]·[ 5·cos(3x) - 2·sin(3x) ] - e^(-2x) - x - 2

    WolframAlpha'nın keyfine göre yazılırsa; y = -x - e^(-2x) - 2[ e^(3x) ]·sin(3x) + 5[ e^(3x) ]·cos(3x) - 2

    http://www.wolframalpha.com/input/?i=y'' - 6y' + 18y = -34e^(-2x) - 18x - 30, y(0) = 2, y'(0) = 10
    ---
    Soruların Yedeği: https://s19.postimg.org/tsb8vokbn/Dif_Denklemler.jpg
    ---
    Rica ederim, iyi çalışmalar.
    Son düzenleme: 15 Aralık 2017
    Samettt19 bunu beğendi.
  4. Samettt19

    Samettt19 Yeni Üye

    Mesajlar:
    4
    Beğenileri:
    1
    Cinsiyet:
    Bay
    İlginiz ve alakanız için çok teşekkür ederim...
    Honore bunu beğendi.
  5. Samettt19

    Samettt19 Yeni Üye

    Mesajlar:
    4
    Beğenileri:
    1
    Cinsiyet:
    Bay
  6. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    2.659
    Beğenileri:
    354
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Hayır, çünkü denklemdeki eşitliğin sağında bulunan 6e^4x ifadesindeki 4, aynı zamanda karakteristik denklemin de iki katlı bir kökü olduğundan özel çözümde kullanılan ifadenin x^2 ile çarpılması gerekiyor. Genel olarak bu durumda k katlı bir kök varsa x^k ile çarpılır.

    Bu işin hocası değilim ama bildiğim kadarıyla ve amatörce yardımcı olmaya çalışıyorum, yararlı olabildiysem sevindim.

Sayfayı Paylaş