Application of Second Order Linear Differential Equations to Physics

Konusu 'Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları' forumundadır ve Şennur tarafından 25 Kasım 2020 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Şennur

    Şennur Üye

    Mesajlar:
    97
    Beğenileri:
    42
    Cinsiyet:
    Bayan
    Screenshot_20201125_105957.jpg
    Çatı duvarına sabitlenen bir yaydan 2 kg'lık bir kütle sallandığında,
    yay 20 cm gerilir. Kütlenin dengeden çekildiğini varsayalım
    6 cm dışına çıktığında, başlangıç hızı olmadan serbest bırakılır.
    a) Sürtünme kuvveti ise 10 saniye sonra kütlenin hızını ve konumunu bulun.
    önemsiz.
    b) Vücut hızının 4 kat daha büyük sürtünme kuvveti olduğunu ve ayrıca harici
    hareket sırasında ortaya çıkan cos t kuvveti. Bu koşullar altında,
    10 saniye sonra kütlenin hızı ve konumu.
    Hocam yardımcı olur musunuz @Honore

  2. Benzer Konular: Application Second
    Forum Başlık Tarih
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Abstract Algebra - Theory and Applications 29 Ocak 2024
    Polinomlar, Permütasyon, Kombinasyon, Olasılık ve Binom Açılımı Application of The Binomial Distribution in Probability 4 Eylül 2023
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Mathematical Statistics with Application - Dennis Wackerly, William Mendenhall, Richard L. Scheaffer 14 Temmuz 2023
    Çemberde Açı-Uzunluk ve Dairenin Alanı Area Between Inscribed Circle and Square - Trigonometric Integral Application 22 Nisan 2023
    Ivır Zıvır Sorular - Sohbet (Trivial Questions - Chat) Application of One-Variable Equations 28 Ağustos 2021

  3. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    9.223
    Beğenileri:
    655
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Assuming gravity g = 10 m / s^2;

    a)
    The spring constant is k = F / x = (2 kg·10 m / s^2) / (0.2 m) = 100 N / m
    If there are no friction and any external force, the second - order linear differential equation of the motion is m·x'' + 0·x' + k·x = 0
    2x'' + 100x = 0 and the characteristic equation (auxiliary polynomial) based on the variable r = dx / dt, r^2 + 50 = 0 ⇒ r = 0 ∓ (5√2)·i
    And the homogeneous solution with respect to time (t);
    x(t) = [ e^(0·t) ]·{ C1·cos[ (5√2)·t ] + C2·sin[ (5√2)·t ] } = C1·cos[ (5√2)·t ] + C2·sin[ (5√2)·t ]
    x(0) = 0.06 = C1·1 + C2·0 ⇒ C1 = 0.06
    x'(t) = dx(t) / dt = v(t) = -(5√2)·C1·sin[ (5√2)·t ] + (5√2)·C2·cos[ (5√2)·t ]
    Since there is no initial speed, v(0) = 0 = -(5√2)·C1·0 + (5√2)·C2·1 ⇒ C2 = 0
    So, the equations for the position and speed of the body are respectively;
    x(t) = 0.06·cos[ (5√2)·t ] m = 6·cos[ (5√2)·t ] cm
    v(t) = -(5√2)·0.06·sin[ (5√2)·t ] m / s = -(30√2)·sin[ (5√2)·t ] cm / s

    After t = 10 seconds, x(10) = 6·cos[ (5√2)·10 ] ≈ -0.15 cm
    v(10) = -(30√2)·sin[ (5√2)·10 ] ≈ -42.4 cm / s

    b)
    Including a frictional (c) and an external force f(t), the differential equation of the motion is m·x'' + c·x' + k·x = f(t)
    Applying the given values; 2x'' + 4x' + 100x = cos(t)....(I)
    2r^2 + 4r + 100 = 0
    r^2 + 2r + 50 = 0
    r = -1 ∓ 7·i
    And the homogeneous solution with respect to time (t); x1(t) = [ e^(-t) ]·[ C1·cos(7t) + C2·sin(7t) ]....(II)
    For the particular solution due to the external force; x2(t) = A·sin(t) + B·cos(t)....(III)
    x2'(t) = A·cos(t) - B·sin(t)....(IV)
    x2''(t) = -A·sin(t) - B·cos(t)....(V)
    Substituting the equations (III), (IV), (V) in (I);
    2·[ -A·sin(t) - B·cos(t) ] + 4·[ A·cos(t) - B·sin(t) ] + 100·[ A·sin(t) + B·cos(t) ] = cos(t)
    (4A + 98B)·cos(t) + (98A - 4B)·sin(t) = cos(t) and applying the Undetermined Coefficients Rule;
    4A + 98B = 1....(VI)
    98A - 4B = 0....(VII)
    Solving the two-variable equation system for (VI) and (VII) yields A = 1 / 2405 and B = 49 / 4810.
    Hence, the particular solution using the coefficients A and B in (III) is x2(t) = (1 / 2405)·sin(t) + (49 / 4810)·cos(t)....(VIII)

    The position equation of the body by summing (II) and (VIII) is;
    x(t) = [ e^(-t) ]·[ C1·cos(7t) + C2·sin(7t) ] + (1 / 2405)·sin(t) + (49 / 4810)·cos(t)....(IX)
    WolframAlpha Verification: https://www.wolframalpha.com/input/?i=2x'' + 4x' + 100x = cos(t)

    And the speed by differentiating (IX) is
    v(t) = -[ e^(-t) ]·[ C1·cos(7t) + C2·sin(7t) ] + [ e^(-t) ]·[ -7C1·sin(7t) + 7C2·cos(7t) ] + (1 / 2405)·cos(t) - (49 / 4810)·sin(t)....(X)

    For the initial conditions;
    x(0) = 0.06 = C1·1 + (49 / 4810)·1 ⇒ C1 ≈ 0.05
    v(0) = 0 = -0.05 + 7C2·1 + (1 / 2405) ⇒ C2 ≈ 0.007

    Then using these C1 and C2 constants;
    From the equation (IX), the position of the body;
    x(t) ≈ [ e^(-t) ]·[ 0.05·cos(7t) + 0.007·sin(7t) ] + (1 / 2405)·sin(t) + (49 / 4810)·cos(t)....(XI)

    From the equation (X), the speed of the body;
    v(t) ≈ -[ e^(-t) ]·[ 0.05·cos(7t) + 0.007·sin(7t) ] + [ e^(-t) ]·[ -0.35·sin(7t) + 0.49·cos(7t) ] + (1 / 2405)·cos(t) - (49 / 4810)·sin(t)....(XII)

    Finally; after t = 10 seconds for the mass, the position and the speed are from the equations (XI) and (XII);
    x(10) ≈ -0.0087 m ≈ 0.9 cm
    v(10) ≈ 0.0052 m / s ≈ 0.52 cm / s

    References:
    https://www.amazon.com/Differential-Equations-Computing-Modeling-2nd/dp/0130797790
    (Pages 180 - 188)
    https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Book:_Calculus_(OpenStax)/17:_Second-Order_Differential_Equations/17.3:_Applications_of_Second-Order_Differential_Equations
    ---
    Rica ederim, inşallah göremediğim bir hata yoktur ve işinize yarar.
    Son düzenleme: 25 Kasım 2020
    Şennur bunu beğendi.
  4. Şennur

    Şennur Üye

    Mesajlar:
    97
    Beğenileri:
    42
    Cinsiyet:
    Bayan
    Çok teşekkür ederim emeğinize sağlık
    Honore bunu beğendi.

Sayfayı Paylaş