Çözüldü Birer Kökü Ortak Olan İkinci Derece Denklemler

x^2 - mx + n = 0 denkleminin bir kökü, x^2 + nx + m = 0 denkleminin bir kökünün 3 katı ve bu denklemlerin diğer kökleri birbirine eşit ise m = ?
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=2117085835273637&set=g.1157240644348123&type=1&theater&ifg=1

Çözüm - 1:
n = 3m olması gerektiğine göre x ortak kökü için x^2 - mx + 3m = x^2 + 3mx + m ⇒ 4mx = 2m ⇒ x = 1 / 2 olup buna göre denklemlerden;
1 / 4 - m / 2 + n = 0....(I)
1 / 4 + n / 2 + m = 0.....(II)
iki bilinmeyenli birinci dereceden sistem oluşur ve çözüldüğünde m = -1 / 10 bulunur.
---
Çözüm - 2 (Sadece klasik sınavlarda):
x = a ortak kök ise a^2 - m·a + n = a^2 + n·a + m ⇒ a = (n - m) / (n + m)....(III)
(III) değeri problemdeki denklemlerden birinde (örneğin birincisinde) kullanılarak;
[ (n - m) / ( m + n) ]^2 - m·[ (n - m) / (m + n) ] + n = 0....(IV)
Problemdeki;
birinci denklemin kökleri: { -(-m) ∓ [ (m^2 - 4n)^0,5 ] } / (2·1)....(V)
ikinci denklemin kökleri: { -n ∓ [ (n^2 - 4m)^0,5 ] } / (2·1)....(VI) yazılıp yine probleme göre (V) = 3·(VI) olduğundan;
m + 3n = ∓3{ [ (n^2 - 4m)^0,5 ] } ∓ (m^2 - 4n)^0,5 ....(VII) olur.
(IV) denklemi ve (VII) eşitliği ile (VII)'teki işaretlere göre sırasıyla ortak çözüm yapılırsa;
+ ve - durumunda çözüm yok,
+ ve + durumunda çözüm yok,
- ve - durumunda reel kök yok,
- ve + durumunda m = -1 / 10 ve n = -3 / 10 bulunuyor.

WolframAlpha Çözümü: https://www.wolframalpha.com/input/?i=((n-m)/(n+m))^2-m(n-m)/(n+m)+n=0,m+3n=-3sqrt(n^2-4m)+sqrt(m^2-4n)