Çözüldü Çarpanlara Ayırma - Cebirsel Özdeşlikler - Karmaşık Sayılar

Konusu 'Denklem Çözme,Basit Eşitsizlik,Oran-Orantı,Özdeşlikler ve Çarpanlara Ayırma' forumundadır ve Honore tarafından 24 Haziran 2018 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    2.644
    Beğenileri:
    354
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    x^2 - x + 1 = 0 ⇒ x^25 + 1 / x^25 = ?
    https://scontent-vie1-1.xx.fbcdn.ne...=0b724ed0c7dc5596578cf74d3c4a0d6d&oe=5BA54A49

    Cebirsel Çözüm:
    (Yöntemi bana daha önceki benzer bir soruda hatırlatmış olan sevgili Şamil Üstadım'a bu vesileyle çok teşekkür ederim.)
    Problemde verilen eşitliğin iki tarafı x + 1 ile çarpılırsa x^3 + 1 = 0 ⇒ x^3 = -1 ⇒ x^25 = [ (x^3)^8 ]·x = 1·x = x....(I) ⇒ 1 / x^25 = 1 / x....(II)
    (I) ve (II) eşitliklerinden x^25 + 1 / x^25 = x + 1 / x = (x^2 + 1) / x....(III),
    Yine problemdeki eşitlikten x^2 + 1 = x....(IV)
    (IV) değeri (III) eşitliğinde pay'daki yerine yazılırsa x^25 + 1 / x^25 = (x^2 + 1) / x = x / x = 1

    Karmaşık Sayılarla Çözüm (Test Sınavlarında biraz zaman alır):
    x^2 - x + 1 = 0 ⇒ x = 1 / 2 ∓ i·(√3) / 2 = e^[ i·(∓π / 3) ]
    x1 = e^[ i·(π / 3) ] ⇒ x^25 = { e^[ i·(π / 3) }^25 = e^[ i·(8π + π / 3) ] = e^[ i·(π / 3) ] = 1 / 2 + i·(√3) / 2....(V)
    1 / x^25 = x^(-25) = { e^[ i·(π / 3) }^(-25) = e^[ i·(-8π - π / 3) ] = e^[ -i·(π / 3) ] = 1 / 2 - i·(√3) / 2....(VI)
    (V) ve (VI) eşitliklerinin toplamıyla da x^25 + 1 / x^25 = 1 / 2 + i·(√3) / 2 + 1 / 2 - i·(√3) / 2 = 1 / 2 + 1 / 2 = 1
    Not: x2 = e^[ -i·(π / 3) ] kökü için aynı işlemleri yapmak ilgilenen öğrencilere ödev.

  2. Benzer Konular: Çarpanlara Ayırma
    Forum Başlık Tarih
    Denklem Çözme,Basit Eşitsizlik,Oran-Orantı,Özdeşlikler ve Çarpanlara Ayırma Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Minimum Değer - Çarpanlara Ayırma - Türev 29 Eylül 2018
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral İntegral - Çarpanlara Ayırma - Limit - Logaritma 29 Eylül 2018
    Matematik - Geometri Tek ve Çift Sayılar - Çarpanlara Ayırma 17 Eylül 2018
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Bileşik Fonksiyon Türevi - Zincir Kuralı - Çarpanlara Ayırma 22 Ağustos 2018
    Matematik - Geometri Rasyonel Sayılarla Çarpanlara Ayırma ve Sadeleştirme (2 Soru) 23 Temmuz 2018

Sayfayı Paylaş