Çözüldü Çember ve Üçgende Uzunluk - Trigonometri

https://i.ibb.co/rpMhYT9/ember-gen3.png
https://scontent-frt3-1.xx.fbcdn.ne...=60be133b222e7cddbe3d3d50f11dacb0&oe=5CEC6C9F
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=1990359961273097&set=gm.1464924996978372&type=3&theater

Çemberde çapı gören çevre açı 90° olduğundan ∡AFB = 90°
ABC dik üçgeninde Öklit Bağıntısı ile 1 / |BF|^2 = 1 / (2r)^2 + 1 / r^2 ⇒ |BF| = 2r / √5 cm....(I)
(I) eşitliği kullanılarak ABC dik üçgeninde Pisagor Teoremi gereğince |AF| = [ (2r)^2 - (2r / √5)^2 ]^0,5 = 4r / √5 cm....(II)
∡ACB = arctan(2r / r) = arctan(2)
∡CAB = 90° - arctan(2)
Çemberde aynı yayı gören çevre açılar eşit olduğundan ∡EAF = ∡FEC = θ
∡OEF = 90° - θ
ΔAOE ikizkenar dik üçgen olduğundan ∡AEO = 45° ve |AE| = r√2 cm
ΔAEF için Sinüs Teoremi ile |AF| / sin(45° + 90° - θ) = |EF| / sin(θ)....(III)
A noktasında ∡EAF + ∡CAB = 45° yani θ + [ 90° - arctan(2) ] = 45° ⇒ θ = arctan(2) - 45°....(IV)
(II), (IV), |EF| = √10 değerleri (III) orantısındaki yerlerine konarak düzenlenirse;
4r / sin(135° - θ) = (5√2) / sin[ arctan(2) - 45° ]....(V) olup sin[ arctan(2) ] = 2 / √5....(VI) ve cos[ arctan(2) ] = 1 / √5....(VII)
(VI), (VII), sin(135°) = 1 / √2, cos(135°) = -1 / √2 değerleri sin(a - b) = sin(a)·cos(b) - sin(b)·cos(a) özdeşliğine uygun şekilde (V) eşitliğindeki yerlerine yazılıp ara işlemler yapılarak (ilgilenen öğrencilere ödev);
r = 5 cm bulunur.

WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=4r / sin(135° - θ) = (5√2) / sin[ arctan(2) - 45° ], θ = arctan(2) - 45°
---
İkinci bir çözüm olarak ΔAEF için Kosinüs Teoremi ile;
(4r/√5)^2 = (r√2)^2 + (√10)^2 - 2(r√2)(√10)cos(135° - θ)....(VIII) olup (IV) değeri (VIII) denklemindeki yerine konup işlemler yapılırsa (ilgilenen öğrencilere ödev);
r = 5 cm yine bulunur.

WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=(4r/√5)^2 = (r√2)^2 + (√10)^2 - 2(r√2)(√10)cos(135° - θ), θ = arctan(2) - 45°