Çözüldü Değişkenlerine Ayrılabilir Tip, Bernoulli, Tam Diferansiyel Denklemler (3 Soru)

Soru - 1
Değişkenlerine Ayrılabilir Tip Diferansiyel Denklem
y' = dy / dx
[ (1 + 2y^2) / y ]dy = (cosx)dx
(1 / y + 2y)dy = (cosx)dx
ln(y) + y^2 = sinx + c....(I)

Doğruluk Kontrolu:
(I) eşitliğinin türevi alınıp düzenlenerek;
y' / y + 2y·(y') = cosx
y'·(1 / y + 2y) = cosx
y' = (y·cosx) / (1 + 2y^2)
y' - (y·cosx) / (1 + 2y^2) = 0 olan ve çözümü yapılan diferansiyel denklem bulunur.
---
Soru - 2
Bernoulli Diferansiyel Denklemi
y' - (3 / x)·y = (x^4)·[ y^(1 / 3) ]
[ y^(-1 / 3) ]·(y') - (3 / x)·[ y^(2 / 3) ] = x^4....(I)
u = y^(2 / 3) ⇒ du / dx = (2 / 3)·[ y^(-1 / 3) ]·(y') ⇒ [ y^(-1 / 3) ]·(y') = (3 / 2)·(du / dx) değişken dönüşümüyle (I) denklemi,
(3 / 2)·(du / dx) - (3 / x)·u = x^4
du / dx - (2 / x)·u = (2 / 3)·(x^4)....(II) şeklinde birinci mertebeden lineer diferansiyel denkleme indirgenerek, x değişkenine bağlı birer fonksiyon k(x) ve v(x) olmak üzere u = k·v....(III) ⇒ du / dx = k·(dv / dx) + v·(dk / dx) değişken dönüşümüyle,
k·(dv / dx) + v·(dk / dx) - (2 / x)·k·v = (2 / 3)·x^4
k·(dv / dx) + v·(dk / dx) - 2k·v / x = (2 / 3)·(x^4)
k·(dv / dx - 2v / x) + v·(dk / dx) = (2 / 3)·(x^4)....(IV) denkleminin çözümünde kullanılmak üzere dv / dx - 2v = 0....(V) olmasını sağlayacak v(x) fonksiyonu integral alınarak v = C1·(x^2)....(VI) olup (V) ve (VI) eşitliklerine göre (IV) denklemi;
k·0 + C1·(x^2)·(dk / dx) = (2 / 3)·(x^4)
dk = [ 2 / (3·C1) ]·(x^2)dx eşitliğinden integralle k = [ 2 / (9·C1) ]·(x^3) + C2....(VII)
(VI) ve (VII) eşitlikleri (III) bağıntısındaki yerlerine konulup;
u = { [ 2 / (9·C1) ]·(x^3) + C2 }·C1·(x^2)
u = [ 2x^5 + C·(x^2) ] / 9 ve y^(2 / 3) = u dönüşümüne geri dönülerek;
y^(2 / 3) = [ 2x^5 + C·(x^2) ] / 9
y = { [ 2x^5 + C·(x^2) ] / 9 }^(3 / 2)
y = (1 / 27)·(x^2)·[ (C + 2x^3)^(3 / 2) ]

WolframAlpha (WA) Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=x*y'-3y-x^5*y^(1/3)=0

Not: WA, algoritması gereğince sonuçları her zaman C1 sabitinden başlayarak göstermektedir.
---
Soru - 3
M = (y^2)(x + 1) + y ⇒ ∂M / ∂y = 2y(x + 1) + 1
N = 2xy + 1 ⇒ ∂N / ∂x = 2y
∂M / ∂y ≠ ∂N / ∂x olduğundan tam diferansiyel değil.
İntegrasyon Çarpanı: µ(x) = e^x
(e^x)·[ y^2(x + 1) + y ]dx + [ 2xy·(e^x) + e^x ]dy = 0
∂M / ∂y = (e^x)·[ 2y(x + 1) + 1 ] = (e^x)·(2xy + 2y + 1)
∂N / ∂x = 2y·(e^x) + 2xy·(e^x) + e^x = (e^x)·(2xy + 2y + 1)
∂M / ∂y = ∂N / ∂x olduğundan denklem artık tam diferansiyel olup çözümü de a, b, c ∈ R olmak üzere;

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/de3_wa10.png

WolframAlpha Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(y^2(x+1)+y)dx+(2xy+1)dy=0
---
Soruların Yedeği: https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/deq310.png

Rica ederim, iyi çalışmalar.