Çözüldü Diferansiyel Denklem Soruları

Konusu 'Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları' forumundadır ve nrslow tarafından 5 Ocak 2019 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. nrslow

    nrslow Yeni Üye

    Mesajlar:
    1
    Beğenileri:
    0
    Cinsiyet:
    Bay
    [​IMG]

    Arkadaşlar soruları çözüp yardım edebilecek kimse var mı acaba?

  2. Benzer Konular: Diferansiyel Denklem
    Forum Başlık Tarih
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel Denklemler (2 Soru) Pazar 15:36
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel Denklemler (3 Soru) 8 Kasım 2018
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel denklemler (7 soru) 29 Aralık 2017
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel denklemler (5 soru) 29 Aralık 2017
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel Denklemler (3 Soru) 27 Aralık 2017

  3. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    2.847
    Beğenileri:
    358
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    y = xp + 1 / p

    dy / dx = (dx / dx)·p + x·(dp / dx) - (1 / p^2)(dp / dx)

    p = p + x·(dp / dx) - (1 / p^2)(dp / dx)

    (dp / dx)(x - 1 / p^2) = 0

    dp / dx = 0 ⇒ p = c1 olup denklemde yerine yazılarak;

    Genel çözüm: y = c1·x + c2

    x - 1 / p^2 = 0 ⇒ x = 1 / p^2 ⇒ p = ∓1 / √x....(I)

    (I) eşitliği esas denklemdeki yerine konarak;

    y = ∓x / √x ∓ √x

    y = ∓2√x olarak "Clairaut Denklemi"nin çözümü bulunur.
    ---
    xy' + 2y = x·[ y^(1 / 2) ]

    y' + 2y / x = y^(1 / 2)....(I)

    u = y^(1 - 1 / 2) = √y

    u^2 = y....(II) değişken dönüşümüyle türev alınarak;

    2u(du / dx) = dy / dx = y'....(III)

    (II) ve (III) eşitlikleri (I) denkleminde kullanılarak;

    2u(du / dx) + 2u^2 / x = u

    du / dx + u / x = 1 / 2....(IV)

    u = k·v değişken dönüşümüyle;

    du / dx = k(dv / dx) + v(dk / dx)....(V)

    (V) eşitliği (IV) denklemindeki yerine yazılarak;

    k(dv / dx) + v(dk / dx) + k·v / x = 1 / 2

    k(dv / dx + v / x) + v(dk / dx) = 1 / 2....(VI)

    (VI) denkleminin çözümü için dv / dx + v / x = 0 alınarak;

    dv / v + dx / x = 0

    lnv + lnx = ln1

    ln(v·x) = lnc1

    v = c1 / x....(VII)

    (VII) eşitliği (VI) denklemindeki yerine konursa;

    (c1 / x)(dk / dx) = 1 / 2

    dk = [ 1 / (2c1) ]xdx

    k = (x^2) / (4c1) + c2....(VIII)

    (VII) ve (VIII) değerleri u = k·v eşitliğindeki yerlerine taşınarak;

    u = [ (x^2) / (4c1) + c2 ](c1 / x)

    u = x / 4 + c1·c2 / x

    u = x / 4 + c1 / x....(IX)

    u = √y ve (IX) eşitliklerinden;

    √y = x / 4 + c1 / x

    y = x^2 / 16 + c1 / 2 + c1^2 / x^2

    y = (x^4 + 8c1·x^2 + 16c1^2) / (16x^2)

    WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=xy'+2y=x(y^1/2)
    ---
    y'' + 4y' + 4y = e^(-2x)

    Karakteristik denklem r^2 + 4r + 4 = 0 ⇒ (r + 2)^2 = 0 ⇒ r = -2 çift katlı kök olduğundan genel çözüm;

    y1 = c1·e^(-2x) + c2·x·e^(-2x)....(I)

    Özel çözüm: y2 = m·(x^2)[ e^(-2x) ]

    y2' = 2mx[ e^(-2x) ] - 2m(x^2)[ e^(-2x) ]....(II)

    y2'' = 2m[ e^(-2x) ] - 4mx[ e^(-2x) ] - 4mx[ e^(-2x) ] + 4m(x^2)[ e^(-2x) ]

    y2'' = 2m[ e^(-2x) ] - 8mx[ e^(-2x) ] + 4m(x^2)[ e^(-2x) ]....(III)

    (II) ve (III) eşitlikleri esas denklemdeki yerlerine konursa;

    2m[ e^(-2x) ] - 8mx[ e^(-2x) ] + 4m(x^2)[ e^(-2x) ] + 8mx[ e^(-2x) ] - 8m(x^2)[ e^(-2x) ] + 4m·(x^2)[ e^(-2x) ] = e^(-2x)

    2m = 1 ⇒ m = 1 / 2 ⇒ y2 = [ (x^2) / 2 ][ e^(-2x) ]....(IV)

    (I) ve (IV) çözümlerinin toplamıyla tam çözüm;
    y = y1 + y2 = c1·e^(-2x) + c2·x·e^(-2x) + [ (x^2) / 2 ][ e^(-2x) ]

    WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=y''+4y'+4y=e^(-2x)
    ---
    y'' + 9y = sin3x

    r^2 + 9 = 0 ⇒ r = ∓3i

    Genel çözüm: y1 = c1·cos3x + c2·sin3x....(I)

    Özel Çözüm: y2 = x(Asin3x + Bcos3x)....(II)

    y2' = Asin3x + Bcos3x + x(3Acos3x - 3Bsin3x)

    y2' = (A - 3Bx)sin3x + (B + 3Ax)cos3x

    y2'' = -3Bsin3x + 3(A - 3Bx)cos3x + 3Acos3x - 3(B + 3Ax)sin3x

    y2'' = (-6B + 9Ax)sin3x + (6A - 9Bx)cos3x....(III)

    (II) ve (III) eşitlikleri denklemde yerlerine konursa;

    (-6B + 9Ax)sin3x + (6A - 9Bx)cos3x + 9x(Asin3x + Bcos3x) = sin3x

    (-6B + 18Ax)sin3x + 6Acos3x = sin3x

    6A = 0 ⇒ A = 0

    -6B + 18Ax = 1 ⇒ B = -1 / 6

    y2 = -(x / 6)cos3x....(IV)

    (I) ve (IV) eşitliklerinden tam çözüm:

    y = y1 + y2 = c1·cos3x + c2·sin3x - (x / 6)cos3x

    WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=y''+9y=sin(3x)

Sayfayı Paylaş