Çözüldü Diferansiyel Denklemler (2 Soru)

Konusu 'Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları' forumundadır ve Honore tarafından 30 Haziran 2019 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    3.731
    Beğenileri:
    395
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    p^2 - e^2(x + y) = 0
    https://scontent-mxp1-1.xx.fbcdn.ne...=fc48e3addb7db6ae68d12a2c1ba6755a&oe=5D867450
    https://www.facebook.com/photo.php?...set=pcb.1585997574871113&type=3&theater&ifg=1

    [ p - e^(x + y) ][ p + e^(x + y) ] = 0
    p = ∓e^(x + y) = ∓(e^x)(e^y)....(I)
    p = dy / dx olduğundan (I) denklemi dy / dx = ∓(e^x)(e^y) ⇒ [ e^(-y) ]dy = ∓(e^x)dx ⇒ ∫[ e^(-y) ]dy = ∓∫(e^x)dx - c1
    -e^(-y) = ∓e^x - c1
    e^(-y) = c1 ∓ e^x
    -y·lne = ln(c1 ∓ e^x)
    y = -ln(c1 ∓ e^x)

    WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=(y')^2-e^(2(x+y))=0
    ---
    y''' + y'' = x^2
    https://scontent-mxp1-1.xx.fbcdn.ne...=2b4ca59b0fa07d36d6da69700976c1ac&oe=5DC615E5
    https://www.facebook.com/photo.php?fbid=2395931364015638&set=pcb.1585997574871113&type=3&theater

    Karakteristik denklem: r^3 + r^2 = 0 ⇒ (r^2)(r + 1) = 0 ⇒ r = 0 (çift katlı kök), r = -1
    Homojen çözüm: y1 = c1·[ e^(-x) ] + c2·[ e^(0x) ] + c3·x·[ e^(0x) ] = c1·[ e^(-x) ] + c2 + c3·x....(I)
    İkinci taraflı özel çözüm: y2 = (x^2)(ax^2 + bx + c) = a(x^4) + b(x^3) + c(x^2)....(II)
    y2' = 4a(x^3) + 3b(x^2) + 2cx
    y2'' = 12a(x^2) + 6bx + 2c....(III)
    y2''' = 24ax + 6b....(IV)
    (III) ve (IV) ifadeleri problemde verilen denklemdeki yerlerine konularak;
    24ax + 6b + 12a(x^2) + 6bx + 2c = x^2
    12a(x^2) + (6b + 24a)x + 6b + 2c = x^2 ve Belirsiz Katsayılar Kuralı (Undetermined Coefficients Rule) ile;
    12a = 1 ⇒ a = 1 / 12....(V)
    6b + 24a = 0 ⇒ b = -4a = -4(1 / 12) = -1 / 3....(VI)
    6b + 2c = 0 ⇒ c = -3b = -3(-1 / 3) = 1....(VII)
    (V), (VI), (VII) değerlerine göre (II) çözümü y2 = (x^4) / 12 - (x^3) / 3 + x^2....(VIII)
    (I) ve (VIII) toplanarak tam çözüm: y1 + y2 = y = c1·[ e^(-x) ] + c2 + c3·x + (x^4) / 12 - (x^3) / 3 + x^2 olur.

    WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=y'''+y''=x^2

  2. Benzer Konular: Diferansiyel Denklemler
    Forum Başlık Tarih
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel Denklemler ve Çift Değişkenli Fonksiyonun Taylor Serisi (3 soru) 1 Kasım 2019
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel Denklemler (2 Soru) 1 Kasım 2019
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel denklemler(5 kolay soru) yarına acil 22 Mayıs 2019
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel Denklemler (2 Soru) 20 Ocak 2019
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel Denklemler (3 Soru) 8 Kasım 2018

Sayfayı Paylaş