Çözüldü Diferansiyel Denklemler (3 Soru)

Konusu 'Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları' forumundadır ve duygus tarafından 27 Aralık 2017 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. duygus

    duygus Yeni Üye

    Mesajlar:
    2
    Beğenileri:
    0
    Cinsiyet:
    Bayan
    [​IMG]
    2.3. ve 4. Sonucu var ancak. Çözüm yolu ayrıntılı gerekiyor. Yardım eder misiniz? Rica edersem.

  2. Benzer Konular: Diferansiyel Denklemler
    Forum Başlık Tarih
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel Denklemler (3 Soru) 8 Kasım 2018
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel denklemler (7 soru) 29 Aralık 2017
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel denklemler (5 soru) 29 Aralık 2017
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel Denklemler 20 Aralık 2017
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Lineer Diferansiyel Denklemler - Laplace Dönüşümleri (5 Soru) 19 Aralık 2017

  3. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    2.644
    Beğenileri:
    354
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Yardımcı olmaya çalışayım (son soru en kapsamlısı olduüğu için tam çözümünü yaptım, 3. soruda özel çözüm okunmuyor, net yazarsanız tekrar bakarım, diğer sorulardaki gidiş yollarını gösterdim):

    SORU - 1
    2tp^3 - 6yp^2 + t^4 = 0 Clairaut diferansiyel denklemini çözünüz.


    tp / 3 + y - t^4 / 6p^2 = 0

    y = (1 / 6)(t^4)p^(-2) - tp / 3 haline getirilip t değişkenine göre türev alınıp y' = p konursa;

    p = (4 / 6)(t^3)p^(-2) - (2 / 6)(t^4)[ p^(-3) ]p' - p / 3 - (t / 3)p'

    4p / 3 = 2t^3 / 3p^2 - (t^4)p' / 3p^3 - tp' / 3

    4p = 2t^3 / p^2 - (t^4 / p^3 + t)p'

    4p^4 = 2pt^3 - t(p^3 + t^3)p'

    t(p^3 + t^3)p' = 2pt^3 - 4p^4

    p' = (2pt^3 - 4p^4) / [ t(p^3 + t^3) ]....(I) Homojen Denklem haline gelir.

    p = ut....(II) değişken dönüşümüyle p' = u't + u olup (I) denklemi;

    u't + u = [ 2u(t^4) - 4(u^4)t^4 ] / [ (t^4)(u^3 + 1) ]

    u't = (2u - 4u^4) / (u^3 + 1) - u

    (du / dt)t = (-5u^4 + u) / (u^3 + 1)

    [ (u^3 + 1) / (-5u^4 + u) ]du = dt / t "Değişkenlerine Ayrılabilir Denklem" haline gelir ve kolayca çözülür.
    ---
    SORU - 2
    2yy'' - (y')^2 - 8y^2 = 0 diferansiyel denkleminin y(0) = 1, y'(0) = 2√2 başlangıç değer problemini çözünüz.

    y' = dy / dt = p....(I) değişken dönüşümüyle y'' = dp / dt = (dy / dt)(dp / dy) = p(dp / dy)....(II) olup (I) ve (II) ifadeleri denklemde yerlerine yazılırlarsa;

    2yp(dp / dy) - p^2 - 8y^2 = 0

    dp / dy - p / 2y = 4y / p

    dp / dy - p / 2y = 4y[ p^(-1) ]....(III) Bernoulli Diferansiyel denklemine dönüşür ve;

    u = p^[ 1 - (-1) ] = p^2....(IV) ⇒ du / dy = 2p(dp / dy) ⇒ p(dp / dy) = (1 / 2)(du / dy)....(V)

    (III) denkleminin her terimi p^(-1) ile bölünürse;

    p(dp / dy) - p^2 / 2y = 4y....(VI) olup (IV) ve (V) ifadeleri (V) denkleminde yerlerine yazılırsa;

    (1 / 2)(du / dy) - u / 2y = 4y

    du / dy - u / y = 8y "1. Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklem" haline gelir ve kolayca çözülür.
    ---
    SORU - 3
    y1 özel çözümü okunmuyor.
    ---
    SORU - 4
    (t^3)y''' + 2(t^2)y'' + ty' - y = (t^3)sin(lnt) değişken katsayılı homojen olmayan diferansiyel denklemini çözünüz.


    Denklem "Euler" diferansiyel denklemi olup t = e^k ⇒ k = lnt değişken dönüşümü ve d / dk = D türetme operatörü ile;

    [D(D - 1)(D - 2) + 2D(D - 1) + D - 1]y = (e^3k)sink

    (D^3 - 3D^2 + 2D + 2D^2 - 2D + D - 1)y = (e^3k)sink

    (D^3 - D^2 + D - 1)y = (e^3k)sink....(I) olarak sabit katsayılı lineer diferansiyel denklem haline gelir.

    Karakteristik denklem r^3 - r^2 + r - 1 = 0 ⇒ (r^2 + 1)(r - 1) = 0 olup r = 0 ∓ 1i, r = 1 olarak kökler bulunur ve ikinci tarafsız genel çözüm;

    y1 = c1·e^(1k) + (e^0k)·[ c2·cos(1k) + c3·sin(1k) ]

    y1 = c1·e^k + c2·cosk + c3·sink

    y1 = c1·t + c2·cos(lnt) + c3·sin(lnt)....(II) bulunur.

    (I) denkleminin ikinci taraflı özel çözümü için y2 = (e^3k)(C3·cosk + C4·sink)....(III)

    (III) eşitliğinden birinci, ikinci, üçüncü türevler alınırsa;

    y' = (3e^3k)(C3·cosk + C4·sink) + (e^3k)(-c3·sink + c4·cosk) = (e^3k)(3c3·cosk + 3c4·sink - c3·sink + c4·cosk)

    y' = (e^3k)[ (3c3 + c4)·cosk + (3c4 - c3)·sink ]....(IV)

    y'' = (3e^3k)[ (3c3 + c4)·cosk + (3c4 - c3)·sink ] + (e^3k)[ -(3c3 + c4)·sink + (3c4 - c3)·cosk ]

    y'' = (e^3k)[ 3(3c3 + c4)·cosk + 3(3c4 - c3)·sink - (3c3 + c4)·sink + (3c4 - c3)·cosk ]

    y'' = (e^3k)[ (8c3 + 6c4)·cosk + (8c4 - 6c3)·sink ]....(V)

    y''' = (3e^3k)[ (8c3 + 6c4)·cosk + (8c4 - 6c3)·sink ] + (e^3k)[ -(8c3 + 6c4)·sink + (8c4 - 6c3)·cosk ]

    y''' = (e^3k)[ 3(8c3 + 6c4)·cosk + 3(8c4 - 6c3)·sink - (8c3 + 6c4)·sink + (8c4 - 6c3)·cosk ]

    y''' = (e^3k)[ (18c3 + 26c4)·cosk + (18c4 - 26c3)·sink ]....(VI)

    (VI), (V), (IV), (III) eşitlikleri (I) denkleminde yerlerine konursa;

    (e^3k)[ (18c3 + 26c4)·cosk + (18c4 - 26c3)·sink ] - (e^3k)[ (8c3 + 6c4)·cosk + (8c4 - 6c3)·sink ] + (e^3k)[ (3c3 + c4)·cosk + (3c4 - c3)·sink ] - (e^3k)(C3·cosk +

    C4·sink) = (e^3k)sink olup sadeleştirilirse;

    (18c3 + 26c4 - 8c3 - 6c4 + 3c3 + c4 - c3)·cosk + (18c4 - 26c3 - 8c4 + 6c3 + 3c4 - c3 - c4)·sink = sink

    (12c3 + 21c4)·cosk + (-21c3 + 12c4)·sink = sink

    12c3 + 21c4 = 0

    -21c3 + 12c4 = 1

    c3 = -7 / 195, c4 = 4 / 195....(VII)

    (VII) değerleri (III) denkleminde yerlerine yazılırsa;

    y2 = (e^3k)[ (-7 / 195)cosk + (4 / 195)sink ] ve e^3k = t^3, k = lnt dönüşümleriyle;

    y2 = (4 / 195)(t^3)sin(lnt) - (7 / 195)(t^3)cos(lnt)....(VII)

    (II) ve (VII) çözümlerinin toplamı genel çözümü vereceği için;

    y = y1 + y2 = c1·t + c2·cos(lnt) + c3·sin(lnt) + (4 / 195)(t^3)sin(lnt) - (7 / 195)(t^3)cos(lnt) çözümü bulunur.

    WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=(t^3)y'''+2(t^2)y''+(t)y'-y=(t^3)*sin(log(t))

    Notlar:
    1. Sınav kağıdı üzerinde son sorunun cevabı olarak yazıldığını düşündüğüm çözüm WolframAlpha'ya göre yanlış.
    2. WolframAlpha y1 çözümünde katsayıları kendi sıralamasına göre verdiği için y2 hesaplanırken kullanılan katsayılarla karıştırılmamalıdır.
    ---
    Sınav sorularının aslı: https://s19.postimg.org/szoicic2b/Final_S_nav.png
    ---
    İyi çalışmalar.
    Son düzenleme: 29 Aralık 2017
  4. duygus

    duygus Yeni Üye

    Mesajlar:
    2
    Beğenileri:
    0
    Cinsiyet:
    Bayan
    Teşekkür ederim.

Sayfayı Paylaş