Çözüldü Diferansiyel denklemler(5 kolay soru) yarına acil

Konusu 'Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları' forumundadır ve erol43 tarafından 22 Mayıs 2019 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. erol43

    erol43 Yeni Üye

    Mesajlar:
    3
    Beğenileri:
    1
    Cinsiyet:
    Bay
    merhaba arkadaşlar yarın sabaha verilmek üzere 5 soru var çözebilen olursa çok sevinirim
    Son düzenleme: 23 Mayıs 2019

  2. Benzer Konular: Diferansiyel denklemler(5
    Forum Başlık Tarih
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Logaritmik Ters Fonksiyon Diferansiyelinin İntegrali (YKS 2020'de yok) 2 Temmuz 2019
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel Denklemler (2 Soru) 30 Haziran 2019
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Tam Diferansiyel Olmayan Denklemden I. Mertebe Lineer Denkleme Geçiş 14 Nisan 2019
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral İntegral - Diferansiyel Denklem Uygulaması (Lise kapsamında bir çözüm yapamadım) 8 Nisan 2019
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel Denklem Sorusu 23 Ocak 2019

  3. erol43

    erol43 Yeni Üye

    Mesajlar:
    3
    Beğenileri:
    1
    Cinsiyet:
    Bay
    hocam 4 saattir sizi bekliyorum şükür giriş yaptınız @Honore
  4. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    3.451
    Beğenileri:
    379
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Akşam gelip yarına acil diye 5 tane diferansiyel denklem kaktırırsanız bir daha buraya gelemezsiniz.

    y'' + y = sinx, y(0) = 1, y'(0) = 1

    Karakteristik denklem r^2 + 1 = 0 ⇒ r = 0 ∓ 1·i

    y1 = (e^0x)(C1·cosx + C2·sinx) = C1·cosx + C2·sinx....(I)

    y2 = x(A·sinx + B·cosx)....(II)

    y2 ' = A·sinx + B·cosx + x(A·cosx - B·sinx)

    y2 '' = A·cosx - B·sinx + A·cosx - B·sinx + x(-A·sinx - B·cosx) = 2A·cosx - 2B·sinx - Ax·sinx - Bx·cosx....(III)

    (II) ve (III) ifadeleri çözülecek denklemdeki yerlerine konularak;

    2A·cosx - 2B·sinx - Ax·sinx - Bx·cosx + x(A·sinx + B·cosx) = sinx

    2A = 0 ⇒ A = 0....(IV)

    -2B = 1 ⇒ B = -1 / 2....(V)

    (IV) ve (V) değerleriyle (II) ifadesi y2 = -(x / 2)·cosx....(VI)

    (I) ve (VI)'dan tam çözüm y = y1 + y2 = c1·cosx + c2·sinx - (x / 2)·cosx....(VII)

    Başlangıç şartları (VII) için uygulanırsa;

    y(0) = c1 = 1....(VIII)

    y ' = -c1·sinx + c2·cosx - (x / 2)·cosx için y '(0) = c2·1 - (1 / 2)·1 = 1 ⇒ c2 = 3 / 2....(IX)

    (VIII) ve (IX) katsayılarıyla da (VII) denkleminin başlangıç değerlerine göre çözümü y = cosx + (3 / 2)·sinx - (x / 2)·cosx

    WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=y''+y=sin(x),y(0)=1,y'(0)=1
    ---
    2y ''' = y '' + y denkleminin çözümü:

    2y ''' - y '' - y = 0

    2r^3 - r^2 - 1 = 0

    (r - 1)(2r^2 + r + 1) = 0

    r1 = 1

    r2 = -1 / 4 + [ (√7) / 4 ]·i

    y = c1·e^(1x) + [ e^(-x / 4) ]·{ c2·cos[ (√7)x / 4 ] + c3·sin[ (√7)x / 4 ] }

    WolframAlpha Kontrolu (sadece katsayılar farklı dizilmiş): https://www.wolframalpha.com/input/?i=2y'''=y''+y
    ---
    y '' - 2y ' + y = (e^x ) / (x^2) denkleminin Sabit Değişimi yöntemiyle çözümü:

    r^2 - 2r + 1 = 0 ⇒ (r - 1)^2 = 0 çift katlı kök olduğundan y = (c1 + c2·x)(e^x) = c1·(e^x) + c2·x·(e^x)....(I)

    y ' = c1·(e^x) + c1'·(e^x) + c2'·x·(e^x) + c2·(e^x) + c2·x·(e^x) eşitliğinden bütünler şart c1'·(e^x) + c2'·x·(e^x) = 0 ⇒ c1' + c2'·x = 0....(II)

    (II) nedeniyle y ' = c1·(e^x) + c2·(e^x) + c2·x·(e^x)....(III)

    y '' = c1'·(e^x) + c1·(e^x) + c2'·(e^x) + c2·(e^x) + c2'·x·(e^x) + c2·(e^x) + c2·x·(e^x)....(IV)

    (I), (III), (IV) ifadeleri çözülecek denklemdeki yerlerine konularak sadeleştirme yapılırsa;

    c1' + (1 + X)·c2' = 1 / x^2....(v)

    (II) ve (v) çözülürse c2' = 1 / x^2 ⇒ c2 = K2 - 1 / x....(VI)

    c1' + (1 / x^2)·x = 0 ⇒ c1' = -1 / x ⇒ c1 = -lnx + K1....(VIII)

    (VI) ve (VII) ifadeleri (I) eşitliğine taşınarak düzenlenirse; y = (K1 - 1)·(e^x) + (K2 - 1 / x)·x·(e^x)

    y = (K1 - 1)·(e^x) + K2·x·(e^x) - (e^x)·lnx

    ve katsayılar tekrar isimlendirilirse y = A1·(e^x) + A2·x·(e^x) - (e^x)·lnx

    WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=y''-2y'+y=(e^x)/(x^2)
    ---
    y '' + y = 1, y(0) = y '(0) = 1 denkleminin Laplace Dönüşümüyle çözümü:

    ℒ(y '' + y) = ℒ(1)

    (s^2)·Y(s) - s·y(0) - y '(0) + Y(s) = 1 / s

    (s^2 + 1)·Y(s) = (s^2 + s + 1) / s

    Y(s) = 1 / s + 1 / (s^2 + 1)

    ve Ters Laplace Dönüşümüyle; y(x) = 1 + sin(x)

    WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=y''+y=1,y(0)=1,y'(0)=1
    ---
    (x^2)·(y '') + x·(y ') - y = x Cauchy-Euler Denkleminin çözümü:

    x = e^t ⇒ y ' = [ e^(-t) ](dy / dt)....(I) ⇒ y '' = [ e^(-2t) ](d^2y / dt^2 - dy / dt)....(II)

    (I) ve (II), çözülecek denklemdeki yerlerine yazılıp sadeleştirilerek d^2y / dt^2 - y = e^t....(III)

    Karakteristik denklem r^2 - 1 = 0 ⇒ r = ∓1 ve homojen çözüm y1 = c1·[ e^(-t) ] + c2·(e^t)....(IV)

    y2 = A·t·(e^t)....(V)

    y2 ' = A·(e^t) + A·t·(e^t)

    y2 '' = 2A·(e^t) + A·t·(e^t)....(VI)

    (V) ve (VI), (III)'teki, yerlerine taşınıp sadeleştirmeyle 2A·(e^t) = e^t ⇒ A = 1 / 2 ve böylece y = y1 + y2 = c1·[ e^(-t) ] + c2·(e^t) + (t / 2)·(e^t) olup x = e^t ifadesinden ters dönüşümle;

    y = c1 / x + c2·x + (x / 2)·lnx....(VII) bulunur.

    WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=(x^2)*y''+x*y'-y=x
    WA'nın verdiği sonucun i = 0 için ve düzenlenerek (VII) ile aynı olduğunun gösterilmesi ilgilenen öğrencilere ödev.
    Haydi bakalım, inşallah faydası olur.
    Son düzenleme: 23 Mayıs 2019
    erol43 bunu beğendi.
  5. erol43

    erol43 Yeni Üye

    Mesajlar:
    3
    Beğenileri:
    1
    Cinsiyet:
    Bay
    @Honore allah razı olsun siz olmasanız kalacaktım muhtemelen sınavdan sonra yazacağım tekrardan buraya
    Honore bunu beğendi.

Sayfayı Paylaş