Çözüldü Diferansiyel Denklemler (5 Soru)

Konusu 'Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları' forumundadır ve Hamitt tarafından 11 Kasım 2017 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Hamitt

    Hamitt Yeni Üye

    Mesajlar:
    2
    Beğenileri:
    1
    Cinsiyet:
    Bay
    Merhaba
    Yıllar soru matematik almaya başladığım için bir çok şeyi unutmuşum. Sorularda bi yere kadar geliyorum fakat sonra devam edemiyorum . Aslında türev ve integralden başlayıp öyle dif e gelmem lazım fakat süre kısıtlı o sebeple aşağıdaki sorularda yardımcı olursanız çok sevinirim.
    Şimdiden çok teşekkür ederim.
    [​IMG]

  2. Benzer Konular: Diferansiyel Denklemler
    Forum Başlık Tarih
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel denklemler (7 soru) 29 Aralık 2017
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel denklemler (5 soru) 29 Aralık 2017
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel Denklemler (3 Soru) 27 Aralık 2017
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel Denklemler 20 Aralık 2017
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Lineer Diferansiyel Denklemler - Laplace Dönüşümleri (5 Soru) 19 Aralık 2017

  3. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    2.593
    Beğenileri:
    354
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Bildiğim kadarıyla yardımcı olmaya çalışayım;

    SORU - 1

    y' = dy / dx = -2(x^3)·e^(x^4)·y^2

    dy / y^2 = -2(x^3)·e^(x^4)dx

    -1 / y = ∫[ -2(x^3)·e^(x^4) ]dx + c

    1 / y = ∫2(x^3)·e^(x^4)dx + c

    x^4 = u ⇒ 4(x^3)dx = du ⇒ 2(x^3)dx = du / 2

    1 / y = (1 / 2)∫(e^u)du + c = (e^u) / 2 + c

    1 / y = [ e^(x^4) ] / 2 + c

    y = y(x)

    1 / y(0) = 1 / 2 + c

    1 / 4 - 1 / 2 = c ⇒ c = -1 / 4

    1 / y = [ e^(x^4) ] / 2 - 1 / 4

    y = 4 / [ 2e^(x^4) - 1 ]

    WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=y'=-2(x^3)(e^(x^4))y^2, y(0)=4
    ---
    SORU - 2

    y' = -2x(y - 1) ⇒ dy / (y - 1) = -2xdx

    ∫dy / (y - 1) = -2∫xdx - ln(c)

    ln[ (y - 1)·c ] = -x^2

    { [ y(x) - 1 ]·c } = e^(-x^2)

    (2 - 1)·c = 1

    c = 1

    y(x) - 1 = e^(-x^2)

    y = e^(-x^2) + 1

    WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=y'=-2xy+2x,y(0)=2
    ---
    SORU - 3

    y' + y / x = -10x^3

    y(x) = u(x)·v(x)

    dy / dx = u(dv / dx) + v(du / x)

    u(dv / dx) + v(du / x) + uv / x = -10x^3

    u(dv / dx + v / x) + v(du / x) = -10x^3....(I)

    dv / dx + v / x = 0 ⇒ dv / v = -dx / x ⇒ ln(vx) = ln1 ⇒ v = 1 / x....(II)

    (II) eşitliğiyle (I) ifadesi (1 / x)(du / x) = -10x^3 haline gelir ve du = (-10x^4)dx ⇒ u = -2x^5 + c....(III)

    (II) ve (III) değerleriyle y = uv eşitliği y(x) = (-2x^5 + c)(1 / x) olup y(1) = 2 şartıyla;

    2 = (-2 + c) / 1 ⇒ c = 4 olup çözüm y = (-2x^5 + 4)(1 / x) = (4 - 2x^5) / x

    WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=y'=-y/x -10x^3,y(1)=2
    ---
    SORU - 4

    y' = dy / dx = -4(y / x) / [ 1 + (y / x) ] - 3(y / x)

    y = ux ⇒ dy / dx = u + x(du / dx)

    u + x(du / dx) = -4u / (1 + u) - 3u

    x(du / dx) = -(4u^2 + 8u) / (u + 1)

    (1 / 4)[ (u + 1) / (u^2 + 2u) ]du + dx / x = 0

    (1 / 4)∫[ (u + 1) / (u^2 + 2u) ]du + ln(x) = -ln(c1)....(I)

    u^2 + 2u = t ⇒ 2(u + 1)du = dt ⇒ (u + 1)du = dt / 2 değişken dönüşümüyle (I) ifadesi;

    (1 / 4)∫dt / 2t + ln(c1·x) = ln(1)

    (1 / 8)ln(t) + ln(c1·x) = ln(1)

    ln[ t^(1 / 8)·c1·x ] = ln(1)

    t^(1 / 8)·c1·x = 1

    t·c1·x^8 = 1

    (u^2 + 2u)·c1·x^8 = 1

    [ (y / x)^2 + 2(y / x) ]·c1·x^8 = 1....(II)

    [ (-3 / 1)^2 + 2(-3 / 1) ]·c1·1^8 = 1

    c1 = 1 / 3....(III)

    (III) değerine göre (II) denklemi;

    [ (y / x)^2 + 2(y / x) ]·x^8 = 3....(IV) ve y(x) = f(x) olacak şekilde çözüme gidilirse;

    y / x = A değişken dönüşümüyle (IV) ifadesi;

    (x^8)A^2 + 2(x^8)A - 3 = 0 ikinci derece denkleminden;

    A = [ -x^8 ∓ √(x^16 + 3x^8) ] / (x^8)

    A = [ -x^8 ∓ (x^4)√(x^8 + 3) ] / (x^8)

    A = [ -x^4 ∓ √(x^8 + 3) ] / (x^4)

    y(x) / x = [ -x^4 ∓ √(x^8 + 3) ] / (x^4)

    y(x) = [ -x^4 ∓ √(x^8 + 3) ] / (x^3)

    y(x) = [ ∓√(x^8 + 3) - x^4 ] / (x^3)

    Karekökün önündeki işaret + alınarak y1(x);
    y1(x) = [ √(x^8 + 3) - x^4 ] / (x^3)

    Karekökün önündeki işaret - alınarak y2(x);
    y2(x) = -[ √(x^8 + 3) + x^4 ] / (x^3)

    WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=y'=-4y/(x+y)-3y/x,y(1)=-3
    [Nedense sadece y2(x) kökünü gösteriyor.]
    ---
    SORU - 5

    y' = dy / dx = y + 1 / y^2 = (y^3 + 1) / y^2

    [ y^2 / (y^3 + 1) ]dy = dx

    ∫[ y^2 / (y^3 + 1) ]dy = ∫dx - ln(c1)....(I)

    y^3 + 1 = u ⇒ 3y^2dy = du ⇒ y^2dy = du / 3 değişken dönüşümüyle (I) ifadesi;

    (1 / 3)∫du / u = x - ln(c1)

    (1 / 3)ln(u) + ln(c1) = x

    ln{ [ u^(1 / 3) ]·c1 } = x

    [ u^(1 / 3) ]·c1 = e^x

    u·c2 = e^(3x)

    (y^3 + 1)·c2 = e^(3x)

    [ y(x) ]^3 + 1 = c·[ e^(3x) ]....(II)

    2^3 + 1 = c

    c = 9 değeri (II) denkleminde yerine yazılırsa;

    y^3 + 1 = 9·[ e^(3x) ]

    y^3 = 9e^(3x) - 1

    y = [ 9e^(3x) - 1 ]^(1 / 3)

    WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=y'=y+y^(-2),y(0)=2
    ---
    Soruların Yedeği: https://s19.postimg.org/k1xb2oa0j/zJpgRR.jpg

    Rica ederim, yardımcı olabildiğime sevindim. Kolay gelsin, iyi çalışmalar.
    Son düzenleme: 12 Kasım 2017
    Hamitt bunu beğendi.
  4. Hamitt

    Hamitt Yeni Üye

    Mesajlar:
    2
    Beğenileri:
    1
    Cinsiyet:
    Bay
    İlginiz ve emeğiniz için çok teşekkür ederim. Yardımlarınızı esirgemiyor olmanız Eminim ki birim insan a ilham kaynağı oluyordur. Tekrar çok teşekkürler.
    Honore bunu beğendi.

Sayfayı Paylaş