Çözüldü Diferansiyel denklemler (5 soru)

Konusu 'Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları' forumundadır ve Gamze000 tarafından 29 Aralık 2017 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Gamze000

    Gamze000 Yeni Üye

    Mesajlar:
    11
    Beğenileri:
    3
    Cinsiyet:
    Bayan
    IMG-20171219-WA0022.jpg Bakabilir misiniz?

  2. Benzer Konular: Diferansiyel denklemler
    Forum Başlık Tarih
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel Denklemler (3 Soru) 8 Kasım 2018
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel denklemler (7 soru) 29 Aralık 2017
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel Denklemler (3 Soru) 27 Aralık 2017
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel Denklemler 20 Aralık 2017
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Lineer Diferansiyel Denklemler - Laplace Dönüşümleri (5 Soru) 19 Aralık 2017

  3. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    2.644
    Beğenileri:
    354
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    SORU - 1
    5y(p^2) + (-5ycosx + sinx)p - sinx·cosx = 0 diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz.

    Denklem çarpanlarına ayrılacak şekilde düzenlenirse;

    5y(p^2) - 5y(cosx)p + psinx - sinx·cosx = 0

    5py(p - cosx) + sinx(p - cosx) = 0

    (p - cosx)(5py + sinx) = 0

    p - cosx = 0 ⇒ p = dy / dx = cosx ⇒ y = sinx + c1 ⇒ y = c1 + sinx....(I)

    5py + sinx = 0 ⇒ p = dy / dx ⇒ 5(dy / dx)y = -sinx ⇒ 5ydy = -sinxdx ⇒ 5y^2 / 2 = cosx + c1

    y^2 = (2cosx + 2c1) / 5

    y^2 = (2 / 5)(c1 + cosx)

    y = ∓ √(2 / 5)·√(c1 + cosx)

    y = -√(2 / 5)·√(c1 + cosx)....(II)

    y = √(2 / 5)·√(c1 + cosx)....(III)

    (I), (II), (II) ifadeleri genel çözümlerdir.

    WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=5y((dy/dx)^2) + (-5ycosx + sinx)(dy/dx) - sinx·cosx = 0
    ---
    SORU - 2
    -(1 / siny)dx + {x·cosy / [ (siny)^2 ] - 1}dy = 0 denkleminin Tam Diferansiyel olduğunu gösterip genel çözümünü bulunuz.

    (∂ / ∂y)(-1 / siny) = cosy / [ (siny)^2 ]....(I)

    (∂ / ∂x){x·cosy / [ (siny)^2 ] - 1} = cosy / [ (siny)^2 ]....(II)

    (I) ve (II) kısmi türevleri birbirine eşit olduğundan denklem Tam Diferansiyeldir.

    Genel çözüm u(x, y) = c şeklindedir.

    ∂u / ∂x = -1 / siny alınarak u(x, y) = -∫dx / siny + F(y) = -x / siny + F(y)....(III)

    (III) eşitliğinin y değişkenine göre türevi alınıp x·cosy / [ (siny)^2 ] - 1 ifadesine eşitlenirse;

    (∂ / ∂y)[ -x / siny + F(y) ] + F(y) ] = x·cosy / [ (siny)^2 ] - 1

    x·cosy / [ (siny)^2 ] + F'(y) = x·cosy / [ (siny)^2 ] - 1

    F'(y) = -1

    F(y) = -y + k....(IV)

    (IV) eşitliği (III) bağıntısında yerine yazılırsa;

    u(x, y) = -x / siny - y + k = c

    x / siny + y = c1

    x + y·siny = c1·siny

    x = c1·siny - y·siny genel çözümü bulunur.

    WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=-(1 / siny)dx + {x·cosy / [ (siny)^2 ] - 1}dy = 0
    ---
    SORU - 3
    (3x^2 - y^2)dx - 2xydy = 0 Homojen Diferansiyel Denklemin genel çözümünü bulunuz.

    y = ux...(I) ⇒ dy = udx + xdu....(II)

    (I) ve (II) eşitlikleri denklemde yerlerine yazılırlarsa;

    [ 3x^2 - (u^2)(x^2) ]dx - 2u(x^2)(dx + xdu) = 0 olup düzenlenip sadeleştirilirse;

    -(3 / x)dx = 2udu / (u^2 - 1)

    -3lnx + lnc1 = ln(u^2 - 1)

    c1 = (x^3)(u^2 - 1) ve burada (I) eşitliği kullanılırsa;

    c1 = (x^3)(y^2 / x^2 - 1)

    c1 = x(y^2) - x^3

    c1 + x^3 = x(y^2)

    y^2 = (c1 + x^3) / x

    y = ∓ √(c1 + x^3) / √x

    WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=(3x^2 - y^2)dx - 2xydy = 0
    ---
    SORU - 4
    dy / dx - y = -(y^2)(x^2 + x + 1) Bernoulli Diferansiyel Denkleminin genel çözümünü bulunuz.


    Denklemin her terimi y^2 ile bölünür;

    (1 / y^2)(dy / dx) - 1 / y = -(x^2 + x + 1)....(I)

    u = y^(1 - 2) = 1 / y....(II)

    du / dx = -(1 / y^2)(dy / dx)

    (1 / y^2)(dy / dx) = -du / dx....(III)

    (II) ve (III) eşitlikleri (I) denkleminde yerlerine yazılır;

    -du / dx - u = -(x^2 + x + 1)

    du / dx + u = x^2 + x + 1....(IV) olarak 1. Mertebeden Lineer Diferansityel Denklem haline döner.

    Çözüm için Sabitin Değişimi (variation of Parameters) Yöntemi de aşağıdaki gibi kullanılabilir;

    du / dx + u = 0 ⇒ u = c·e^(-x)....(V) ⇒ du / dx = (dc / dx)·e^(-x) - c·e^(-x)....(VI) olup (VI) ve (V) ifadeleri (IV) denkleminde yerlerine konursa;

    (dc / dx)·e^(-x) - c·e^(-x) + c·e^(-x) = x^2 + x + 1

    dc / dx = (e^x)(x^2 + x + 1)

    c = ∫(e^x)(x^2 + x + 1)dx olup bu integral iki kez kısmi integrasyon uygulanaarak çözülürse c = (e^x)(x^2) - (e^x)x + 2e^x + k....(VII)

    (VII) eşitliği (V) ifadesinde yerine konursa;

    u = [ (e^x)(x^2) - (e^x)x + 2e^x + k ]·e^(-x) = x^2 - x + 2 + k·e^(-x) ve bu da (II) eşitliğinde yerine yazılırsa;

    x^2 - x + 2 + k·e^(-x) = 1 / y

    y = 1 / [ x^2 - x + 2 + k·e^(-x) ]

    y = 1 / [ x^2 - x + 2 + c1·e^(-x) ]

    y = (e^x) / [ c1 + (e^x)(x^2 - x + 2) ] genel çözümü bulunur.

    WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=dy / dx - y = -(y^2)(x^2 + x + 1)
    ---
    SORU - 5
    y1 = 5, y2 = x^2 - 2, y^3 = x^2 + 4 fonksiyonlarının lineer bağımlı olup olmadıklarını belirleyiniz.

    3 fonksiyon olduğu için 3 - 1 = 2 kez türevler alınıp Wronski (Wronskian) Determinantının sıfır olup olmadığına baklılır. Bu determinant sıfır ise fonksiyonlar lineer bağımlı, aksi halde bağımsızdırlar.

    y1' = 0, y1'' = 0

    y2' = 2x, y2'' = 2

    y3' = 2x, y3'' = 2
    Kod:
                  |5    x^2-2     x^2+4|
                  |                    |
    Determinant = |0       2x        2x| = 5(2x·2 - 2·2x) = 0
                  |                    |
                  |0        2         2|   
    y1, y2, y3 fonksiyonları lineer bağımlıdırlar.

    Kaynak:
    https://www.wolframalpha.com/input/?i=wronski determinant
    http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/Wronskian.aspx
    ---
    Merak edenler için okulun adı: Necmettin Erbakan Üniversitesi Seydişehir Ahmet Cengiz Mühendislik Fakültesi (N.E.Ü.S.A.C.M. Fakültesi)
    https://www.konya.edu.tr/seydisehirahmetcengizmuhendislik
    ---
    Sınav sorularının aslı: https://s19.postimg.org/fcogrve5v/Diferansiyel_Denklemler_5_Soru.png
    ---
    Rica ederim, iyi çalışmalar.
    Son düzenleme: 29 Aralık 2017
    Gamze000 bunu beğendi.
  4. Gamze000

    Gamze000 Yeni Üye

    Mesajlar:
    11
    Beğenileri:
    3
    Cinsiyet:
    Bayan
    Çok teşekkür ederim
    Honore bunu beğendi.

Sayfayı Paylaş