Çözüldü Diferansiyel Denklemler (6 Soru)

İkinci soruyu yapamadım.
---
Soru - 1
Değişkenlerine Ayrılabilir (Separable) denklem.
dy / [ y(y - 1)(y^2 + y + 1) ] = (1 / 3)·[ 2xdx / (1 + x^2) ]....(I)
A, B, C, D ∈ R olmak üzere sol taraftaki ifade basit kesirlere (partial fractions) ayrılarak;
1 / [ y(y - 1)(y^2 + y + 1) ] ≡ A / y + B / (y - 1) + (C·y + D) / (y^2 + y + 1)
1 = A·(y - 1)·(y^2 + y + 1) + B·y·(y^2 + y + 1) + y·(y - 1)(C·y + D)
1 = (A + B + C)·(y^3) + (B - C + D)·(y^2) + (B - D)·y - A
A + B + C = 0
B - C + D = 0
B - D = 0
A = -1
eşitliklerine göre üç bilinmeyenli denklem sistemi çözülürse (bu ara işlemler ilgilenen öğrencilere ödev);
B = D = 1 / 3, C = 2 / 3 bulunup (I) denklemi;
{ -1 / y + (1 / 3)·[ 1 / (y - 1) ] + (1 / 3)·[ (2y + 1) / (y^2 + y + 1) ] }dy = (1 / 3)·[ 2xdx / (1 + x^2) ] haline gelerek integraller alınırsa;
-ln(y) + (1 / 3)·ln(y - 1) + (1 / 3)·ln(y^2 + y + 1) = (1 / 3)·ln(x^2 + 1) + ln(C)
ln[ (y^3 - 1) / (y^3) ] = ln(x^2 + 1) + ln(C^3)
(y^3 - 1) / (y^3) = (C^3)·(x^2 + 1)
(y^3)·[ 1 - C1·(x^2 + 1) ] = 1
y = 1 / [ 1 - C1·(x^2 + 1) ]^(1 / 3)

Not: WolframAlpha (WA) sabit terimi gereksiz yere üstel göstererek sonucu daha karışık gale getirmiş.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=3(1+x^2)(y')=2xy(y^3-1)
---
Soru - 2
Birinci mertebeden lineer olmayan diferansiyel denklem.
Çok uğraştım ama çözemedim ve zaten WA da bir sonuç veremedi. Soruyu veren hoca, doğruluğundan eminse ve gerçekten çözümü de varsa başka forumlara veya ilgili Facebook gruplarına sormanız gerekiyor.
Not: Çözüm ikinci sayfada
---
Soru - 3
Homojen diferansiyel denklem.
(3x^2 - 2xy + 3y^2) / (4xy) = dy / dx
y = ux değişken dönüşümüyle dy / dx = u + x(du / dx) olup denklemin yeni hali;
[ 3x^2 - 2(x^2)u + 3(u^2)(x^2) ] / [ 4u(x^2) ] = u + x(du / dx)
(3 - 2u + 3u^2) / (4u) - u = x(du / dx)
(3 - 2u - u^2) / (4u) = x(du / dx)
{ 4u / [ (u + 3)(u - 1) ] }du + dx / x = 0 olup soldaki terim Soru - 1'in çözümünde olduğu basit kesirlere ayrılırsa;
[ 3 / (u + 3) + 1 / (u - 1) ]du + dx / x = 0 denkleminden integraller alınarak;
3ln(u + 3) + ln(u - 1) + ln(x) = ln(C)
ln [ (u + 3)^3 ]·(u - 1)x ] = ln(C)
[ (u + 3)^3 ]·(u - 1)x = C
[ (y / x + 3)^3 ]·(y / x - 1)x = C
{ [ (3x + y)^3 ] / (x^3) }·(y - x) = C
[ (3x + y)^3 ]·(y - x) = C·(x^3)

Not: Sonuç bu haliyle yeterlidir ve açılıp 4. dereceden y değişkenine bağlı denklemin çözümüyle WA'nın aşağıda verdiği gibi bir sürü gereksiz işlemle y = f(x) haline getirilmesine gerek yoktur.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(3x^2 - 2xy + 3y^2) / (4xy) = dy / dx
---
Soru - 4
Riccati Diferansiyel Denklemi
u = f(x) olmak üzere y = tanx + (1 / u) değişken dönüşümüyle y' = 1 + (tanx)^2 - u' / u^2 olup denklemin yeni hali;
1 + (tanx)^2 - u' / u^2 = [ tanx + (1 / u) ]^2 + 1
1 + (tanx)^2 - u' / u^2 = (tanx)^2 + 2(tanx)(1 / u) + 1 / u^2 + 1
-u' / u^2 = 2(tanx)(1 / u) + 1 / u^2
u' + 2u·tanx = -1 şeklinde birinci mertebeden lineer diferansiyel denklem haline gelerek x değişkenine bağlı birer fonksiyon k ve v olmak üzere u = k·v değişken dönüşümüyle du / dx = k(dv / dx) + v(dk / dx) olup;
k(dv / dx) + v(dk / dx) + 2k·v·tanx = -1
k(dv / dx + 2v·tanx) + v(dk / dx) = -1 denkleminde dv / dx + 2v·tanx = 0 olmasını sağlayacak bir v(x) = (cosx)^2 fonksiyonu kolayca bulunur ve buna göre denklemin yeni hali;
k·0 + [ (cosx)^2 ]·(dk / dx) = -1
dk = [ -(secx)^2 ]dx
k = C1 - tanx ve böylece u = k·v = (C1 - tanx)·[ (cosx)^2 ] = C1·[ (cosx)^2 ] - (1 / 2)·sin2x yazılır.
y = tanx + 1 / u eşitliğinden y = tanx + 1 / { C1·[ (cosx)^2 ] - (1 / 2)·sin2x } şeklinde y = f(x) haline de gelmiş çözümü bulunur.

Not: WA henüz Riccati tipi denklemleri bilmiyor.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y'=y^2+1,y=tan(x)
---
Soru - 5
a)
dy / dx - y / (x^2) = -1 / x^2 haline getirilirse birinci mertebeden lineer diferansiyel denklem olduğu görülüp Soru - 4'ün çözümünde olduğu gibi ama bu sefer y = u·v değişken dönüşümyle kolayca çözülür. Bu işlemler ilgilenen öğrencilere ödev olup genel çözüm;
y = C·[ e^(-1 / x) ] + 1 çıkacak.
Tekil çözüm için dy / dx = c gibi bir sabit (küçük harfle c) alınırsa c - y / (x^2) = -1 / x^2 olup y = c·(x^2) + 1....(I) eşitliğinden c değişkenine göre türev alınıp;
y' = dy / dc = 0 = 1·(x^2) + 0 ⇒ x = 0 olup c = f(x) bulunamadığından tekil çözüm yoktur.

b)
Tekil çözüm için yine dy / dx = c sabiti alınıp c^2 + 9y^2 + 4x^2 = 36....(II) eşitliğinde c ye göre türev alınırsa;
2c + 0 + 0 = 0 ve buradan c = 0 olup bu değer (II) denkleminde kullanılırsa tekil çözüm 0 + 9y^2 + 4x^2 = 36 elipsi olarak bulunur.

Kaynak:
http://cdn2.beun.edu.tr/metalurji/2018/03/tek/muhendisler-icin-diferansiyel-denklemler.pdf
(Sayfa 26, Örnek 2-12)

Not: Daha önce genel çözüm için soruldu ama bulunamadı:
http://www.sorumvar.net/frm/konular/diferansiyel-denklemler-3-soru.9026/
(Birinci Soru)
---
Soruların Yedeği: https://i.ibb.co/sbSvvKN/6denklem.png
---

Rica ederim. İkinci soru üzerinde ilk fırsatta yine çalışacağım ama bu arada başka forumlara veya ilgili Facebook gruplarına da yollamanız iyi olabilir.

Aslında dy önündeki terimde - yerine + işareti alarak µ = µ(x^2 + y^2) veya eski haliyle µ = µ(x^2 - y^2) şeklinde tam diferansiyel hale dönüştürebilmek için bir integrasyon çarpanı bulmaya uğraşmıştım fakat iki durumda da böyle bir integrasyon çarpanı çıkartamadım.
https://www.amazon.com/Diferansiyel-Denklemler/dp/9758289616 kitabındaki benzeri problemlerde uygulandığı şekilde yaptığım halde gereken o iki integrasyon çarpanından biri çıkmadı.

Homojen denklem varsayımıyla y = ux dönüşümü de uyguladım ve bu sefer de;
dx / x + (u^2 + 1)du / [ u(u^3 + u^2 + 2u + 4 ] = 0 haline geldikten sonra ikinci terim basit iki kesire de ayrılabiliyor ama oradan çıkan
(-u^2 + 3u - 2) / [ 4(u^3 + u^2 + 2u + 4) ] kesrinin integrali alınamıyor.

Bu açıklamaları mümkünse soruyu veren hocanın da görmesi için yapıyorum çünkü bildiğim her şeyi denediğim halde WolframAlpha (WA)'nın nasıl olup da verdiği bir sonucu bulacak çözümü yapamadım.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(3(x^2)y+2xy+y^3)dx+(x^2+y^2)dy=0
("Differential equation solutions:" başlığı altındaki ilk sonuç)

Soruda yapabileceğim başka bir şey kalmadı. Zaman varsa başka forumlara veya ilgili Facebook gruplarına da gönderirseniz belki bir bilen çıkar.