Çözüldü Diferansiyel Denklemler (6 Soru)

Konusu 'Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları' forumundadır ve İbrahim KOÇ tarafından 13 Ağustos 2020 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. İbrahim KOÇ

    İbrahim KOÇ Yeni Üye

    Mesajlar:
    9
    Beğenileri:
    7
    Cinsiyet:
    Bay
    Coşkun Öcal bunu beğendi.

  2. Benzer Konular: Diferansiyel Denklemler
    Forum Başlık Tarih
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel Denklemler (5 Soru, 4. Sorunun Çözüm Yolu Gösterildi) 17 Eylül 2020
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Tam (Exact) Diferansiyel Denklemlere Dönüşüm 2 Eylül 2020
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel Denklemler (4 soru, Sonuncusu istenilenden farklı yöntemle çözülebildi) 1 Eylül 2020
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Homojen Denklemler - Riccati Diferansiyel Denklemi (3 Soru) 30 Ağustos 2020
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Yüksek Mertebeden Lineer Olmayan Diferansiyel Denklemlerde y' = p Dönüşümü 30 Ağustos 2020

  3. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    4.845
    Beğenileri:
    602
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    İkinci soruyu yapamadım.
    ---
    Soru - 1
    Değişkenlerine Ayrılabilir (Separable) denklem.
    dy / [ y(y - 1)(y^2 + y + 1) ] = (1 / 3)·[ 2xdx / (1 + x^2) ]....(I)
    A, B, C, D ∈ R olmak üzere sol taraftaki ifade basit kesirlere (partial fractions) ayrılarak;
    1 / [ y(y - 1)(y^2 + y + 1) ] ≡ A / y + B / (y - 1) + (C·y + D) / (y^2 + y + 1)
    1 = A·(y - 1)·(y^2 + y + 1) + B·y·(y^2 + y + 1) + y·(y - 1)(C·y + D)
    1 = (A + B + C)·(y^3) + (B - C + D)·(y^2) + (B - D)·y - A
    A + B + C = 0
    B - C + D = 0
    B - D = 0
    A = -1
    eşitliklerine göre üç bilinmeyenli denklem sistemi çözülürse (bu ara işlemler ilgilenen öğrencilere ödev);
    B = D = 1 / 3, C = 2 / 3 bulunup (I) denklemi;
    { -1 / y + (1 / 3)·[ 1 / (y - 1) ] + (1 / 3)·[ (2y + 1) / (y^2 + y + 1) ] }dy = (1 / 3)·[ 2xdx / (1 + x^2) ] haline gelerek integraller alınırsa;
    -ln(y) + (1 / 3)·ln(y - 1) + (1 / 3)·ln(y^2 + y + 1) = (1 / 3)·ln(x^2 + 1) + ln(C)
    ln[ (y^3 - 1) / (y^3) ] = ln(x^2 + 1) + ln(C^3)
    (y^3 - 1) / (y^3) = (C^3)·(x^2 + 1)
    (y^3)·[ 1 - C1·(x^2 + 1) ] = 1
    y = 1 / [ 1 - C1·(x^2 + 1) ]^(1 / 3)

    Not: WolframAlpha (WA) sabit terimi gereksiz yere üstel göstererek sonucu daha karışık gale getirmiş.
    https://www.wolframalpha.com/input/?i=3(1+x^2)(y')=2xy(y^3-1)
    ---
    Soru - 2
    Birinci mertebeden lineer olmayan diferansiyel denklem.
    Çok uğraştım ama çözemedim ve zaten WA da bir sonuç veremedi. Soruyu veren hoca, doğruluğundan eminse ve gerçekten çözümü de varsa başka forumlara veya ilgili Facebook gruplarına sormanız gerekiyor.
    Not: Çözüm ikinci sayfada
    ---
    Soru - 3
    Homojen diferansiyel denklem.
    (3x^2 - 2xy + 3y^2) / (4xy) = dy / dx
    y = ux değişken dönüşümüyle dy / dx = u + x(du / dx) olup denklemin yeni hali;
    [ 3x^2 - 2(x^2)u + 3(u^2)(x^2) ] / [ 4u(x^2) ] = u + x(du / dx)
    (3 - 2u + 3u^2) / (4u) - u = x(du / dx)
    (3 - 2u - u^2) / (4u) = x(du / dx)
    { 4u / [ (u + 3)(u - 1) ] }du + dx / x = 0 olup soldaki terim Soru - 1'in çözümünde olduğu basit kesirlere ayrılırsa;
    [ 3 / (u + 3) + 1 / (u - 1) ]du + dx / x = 0 denkleminden integraller alınarak;
    3ln(u + 3) + ln(u - 1) + ln(x) = ln(C)
    ln [ (u + 3)^3 ]·(u - 1)x ] = ln(C)
    [ (u + 3)^3 ]·(u - 1)x = C
    [ (y / x + 3)^3 ]·(y / x - 1)x = C
    { [ (3x + y)^3 ] / (x^3) }·(y - x) = C
    [ (3x + y)^3 ]·(y - x) = C·(x^3)

    Not: Sonuç bu haliyle yeterlidir ve açılıp 4. dereceden y değişkenine bağlı denklemin çözümüyle WA'nın aşağıda verdiği gibi bir sürü gereksiz işlemle y = f(x) haline getirilmesine gerek yoktur.
    https://www.wolframalpha.com/input/?i=(3x^2 - 2xy + 3y^2) / (4xy) = dy / dx
    ---
    Soru - 4
    Riccati Diferansiyel Denklemi
    u = f(x) olmak üzere y = tanx + (1 / u) değişken dönüşümüyle y' = 1 + (tanx)^2 - u' / u^2 olup denklemin yeni hali;
    1 + (tanx)^2 - u' / u^2 = [ tanx + (1 / u) ]^2 + 1
    1 + (tanx)^2 - u' / u^2 = (tanx)^2 + 2(tanx)(1 / u) + 1 / u^2 + 1
    -u' / u^2 = 2(tanx)(1 / u) + 1 / u^2
    u' + 2u·tanx = -1 şeklinde birinci mertebeden lineer diferansiyel denklem haline gelerek x değişkenine bağlı birer fonksiyon k ve v olmak üzere u = k·v değişken dönüşümüyle du / dx = k(dv / dx) + v(dk / dx) olup;
    k(dv / dx) + v(dk / dx) + 2k·v·tanx = -1
    k(dv / dx + 2v·tanx) + v(dk / dx) = -1 denkleminde dv / dx + 2v·tanx = 0 olmasını sağlayacak bir v(x) = (cosx)^2 fonksiyonu kolayca bulunur ve buna göre denklemin yeni hali;
    k·0 + [ (cosx)^2 ]·(dk / dx) = -1
    dk = [ -(secx)^2 ]dx
    k = C1 - tanx ve böylece u = k·v = (C1 - tanx)·[ (cosx)^2 ] = C1·[ (cosx)^2 ] - (1 / 2)·sin2x yazılır.
    y = tanx + 1 / u eşitliğinden y = tanx + 1 / { C1·[ (cosx)^2 ] - (1 / 2)·sin2x } şeklinde y = f(x) haline de gelmiş çözümü bulunur.

    Not: WA henüz Riccati tipi denklemleri bilmiyor.
    https://www.wolframalpha.com/input/?i=y'=y^2+1,y=tan(x)
    ---
    Soru - 5
    a)

    dy / dx - y / (x^2) = -1 / x^2 haline getirilirse birinci mertebeden lineer diferansiyel denklem olduğu görülüp Soru - 4'ün çözümünde olduğu gibi ama bu sefer y = u·v değişken dönüşümyle kolayca çözülür. Bu işlemler ilgilenen öğrencilere ödev olup genel çözüm;
    y = C·[ e^(-1 / x) ] + 1 çıkacak.
    Tekil çözüm için dy / dx = c gibi bir sabit (küçük harfle c) alınırsa c - y / (x^2) = -1 / x^2 olup y = c·(x^2) + 1....(I) eşitliğinden c değişkenine göre türev alınıp;
    y' = dy / dc = 0 = 1·(x^2) + 0 ⇒ x = 0 olup c = f(x) bulunamadığından tekil çözüm yoktur.

    b)
    Tekil çözüm için yine dy / dx = c sabiti alınıp c^2 + 9y^2 + 4x^2 = 36....(II) eşitliğinde c ye göre türev alınırsa;
    2c + 0 + 0 = 0 ve buradan c = 0 olup bu değer (II) denkleminde kullanılırsa tekil çözüm 0 + 9y^2 + 4x^2 = 36 elipsi olarak bulunur.

    Kaynak:
    http://cdn2.beun.edu.tr/metalurji/2018/03/tek/muhendisler-icin-diferansiyel-denklemler.pdf
    (Sayfa 26, Örnek 2-12)

    Not: Daha önce genel çözüm için soruldu ama bulunamadı:
    http://www.sorumvar.net/frm/konular/diferansiyel-denklemler-3-soru.9026/
    (Birinci Soru)
    ---
    Soruların Yedeği: https://i.ibb.co/sbSvvKN/6denklem.png
    ---
    Rica ederim. İkinci soru üzerinde ilk fırsatta yine çalışacağım ama bu arada başka forumlara veya ilgili Facebook gruplarına da yollamanız iyi olabilir.
    Son düzenleme: 14 Ağustos 2020
  4. İbrahim KOÇ

    İbrahim KOÇ Yeni Üye

    Mesajlar:
    9
    Beğenileri:
    7
    Cinsiyet:
    Bay
    Teşekkür ederim Hocam
    Honore bunu beğendi.
  5. İbrahim KOÇ

    İbrahim KOÇ Yeni Üye

    Mesajlar:
    9
    Beğenileri:
    7
    Cinsiyet:
    Bay
    Hocam 2.Soruyu yanlış yazmışlar şimdi düzelttiler.Rica etsem bu sorunun çözümünü de yapabilir misiniz ?

    https://hizliresim.com/7lA5fY
  6. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    4.845
    Beğenileri:
    602
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Aslında dy önündeki terimde - yerine + işareti alarak µ = µ(x^2 + y^2) veya eski haliyle µ = µ(x^2 - y^2) şeklinde tam diferansiyel hale dönüştürebilmek için bir integrasyon çarpanı bulmaya uğraşmıştım fakat iki durumda da böyle bir integrasyon çarpanı çıkartamadım.
    https://www.amazon.com/Diferansiyel-Denklemler/dp/9758289616 kitabındaki benzeri problemlerde uygulandığı şekilde yaptığım halde gereken o iki integrasyon çarpanından biri çıkmadı.

    Homojen denklem varsayımıyla y = ux dönüşümü de uyguladım ve bu sefer de;
    dx / x + (u^2 + 1)du / [ u(u^3 + u^2 + 2u + 4 ] = 0 haline geldikten sonra ikinci terim basit iki kesire de ayrılabiliyor ama oradan çıkan (-u^2 + 3u - 2) / [ 4(u^3 + u^2 + 2u + 4) ] kesrinin integrali alınamıyor.

    Bu açıklamaları mümkünse soruyu veren hocanın da görmesi için yapıyorum çünkü bildiğim her şeyi denediğim halde WolframAlpha (WA)'nın nasıl olup da verdiği bir sonucu bulacak çözümü yapamadım.
    https://www.wolframalpha.com/input/?i=(3(x^2)y+2xy+y^3)dx+(x^2+y^2)dy=0
    ("Differential equation solutions:" başlığı altındaki ilk sonuç)

    Soruda yapabileceğim başka bir şey kalmadı. Zaman varsa başka forumlara veya ilgili Facebook gruplarına da gönderirseniz belki bir bilen çıkar.
    Son düzenleme: 14 Ağustos 2020

Sayfayı Paylaş