Çözüldü Diferansiyel Denklemler (7 Soru)

Konusu 'Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları' forumundadır ve Gamze000 tarafından 19 Aralık 2017 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Gamze000

    Gamze000 Yeni Üye

    Mesajlar:
    11
    Beğenileri:
    3
    Cinsiyet:
    Bayan
    IMG-20171219-WA0023.jpg Bakar misiniz?

  2. Benzer Konular: Diferansiyel Denklemler
    Forum Başlık Tarih
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel denklemler (7 soru) 29 Aralık 2017
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel denklemler (5 soru) 29 Aralık 2017
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel Denklemler (3 Soru) 27 Aralık 2017
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel Denklemler 20 Aralık 2017
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Lineer Diferansiyel Denklemler - Laplace Dönüşümleri (5 Soru) 19 Aralık 2017

  3. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    2.102
    Beğenileri:
    306
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    SORU - 1
    dy / dx = -y(cosx + sinx) / (y + sinx - cosx) diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz.

    Denklem düzenlenirse y(cosx + sinx)dx + (y + sinx - cosx)dy = 0 olup M(x, y) = y(cosx + sinx) ve N(x, y) = y + sinx - cosx alınarak kısmi türevlere bakılırsa;

    ∂M / ∂y = cosx + sinx

    ∂N / ∂x = cosx + sinx

    olup ∂M / ∂y = ∂N / ∂x nedeniyle "Tam Diferansiyel" denklemdir.

    u(x, y) = c....(I) şeklinde bir çözümü olacağından M(x, y) = ∂u / ∂x = y(cosx + sinx) ⇒ u(x, y) = ∫y(cosx + sinx)dx + F(y) = y(-sinx + cosx) + F(y)....(II)

    (II) eşitliğinden ∂u / ∂y = -sinx + cosx + F'(y) = N(x, y) oluşturulursa;

    -sinx + cosx + F'(y) = y + sinx - cosx ⇒ F'(y) = y + 2(sinx - cosx) ⇒ F(y) = (y^2 / 2) + 2(sinx - cosx)y....(III) bulunur.

    (III) eşitliği (II) denkleminde yerine yazılırsa;

    u(x, y) = y(-sinx + cosx) + (y^2 / 2) + 2(sinx - cosx)y ve düzenlenirse;

    -ysinx + ycosx + (y^2 / 2) + 2ysinx - 2ycosx = c

    (y^2 / 2) + y(sinx - cosx) = c

    y^2 + 2(sinx - cosx)y - 2c = 0....(IV) ikinci derece denklemi çözülürse;

    y = (cosx - sinx) ∓ √ [ (sinx - cosx)^2 + 2c ] ve 1 + 2c = K gibi başka bir sabit olarak alınıp;

    y = cosx - sinx ∓ √(K - sin2x) çözümü bulunur.

    Doğruluk Kontrolu:
    WolframAlpha "i" kullanarak kompleks sayılarla gereksiz fantezi yaptığından,
    http://www.wolframalpha.com/input/?i=dy/dx=-y(cos(x)+sin(x))/(y+sin(x)-cos(x))

    klasik test için (IV) ifadesinin türevi alınırsa;

    2y(dy / dx) + 2/dy / dx)(sinx - cosx) + 2y(cosx + sinx) = 0

    dy(y + sinx - cosx) + y(cosx + sinx)dx = 0

    dy / dx + y(cosx + sinx) / (y + sinx - cosx) =) 0

    dy / dx = -y(cosx + sinx) / (y + sinx - cosx) olarak problemdeki diferansiyel denklem tekrar elde edilir.
    ---
    SORU - 2
    2xydy + (6y^2 - x^2)dx = 0 homojen diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz.

    y = ux....(I) değişken dönüşümüyle dy = udx + xdu olup denklemde yerine yazılırsa;

    2x·ux·(udx + xdu) + [6(u^2)(x^2) - x^2]dx = 0

    2(u^2)(x^2)dx + 2u(x^3)du + (x^2)(6u^2 - 1)dx = 0

    (x^2)(2u^2 + 6u^2 - 1)dx + 2u(x^3)du = 0

    (8u^2 - 1)dx + 2uxdu = 0

    dx / x + 2udu / (8u^2 - 1) = 0....(II) ifadesindeki ikinci terimde 8u^2 - 1 = t değişken dönüşümüyle 2udu = dt / 8 olup burada yerine konursa;

    dx / x + (1 /8)(dt / t) = 0 ve integraller alınırsa;

    ln(x) + (1 / 8)ln(t) = ln(k)

    8ln(x) + ln(8u^2 - 1) = ln(k^8) ve (I) ifadesinden çıkan u = y / x yerine yazılırsa;

    ln[ (x^8)(8y^2 / x^2 - 1) ] = ln(k^8)

    8y^2 - x^2 = k / x^6

    y^2 = (k + x^8) / (8x^6)

    y = ∓[ 1 / (2x^3) ]·√[ (c + x^8) / 2 ] çözümü bulunur.

    WolframAlpha'ya tam uygunluk için yeniden düzenlenirse;

    y = ∓ [ √(c + x^8) ] / [ (2√2)x^3 ]

    http://www.wolframalpha.com/input/?i=2xydy + (6y^2 - x^2)dx = 0
    ---
    SORU - 3
    xy' + xy = (x^2)·(y^3) diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz.

    Denklem düzenlenirse y' + y = x·(y^3) "Bernoulli" diferansiyel Denklemi olduğu görülür.

    Her terim y^3 ile bölünürse [ y^(-3) ]·y' + y^(-2) = x....(I) ve buradan;

    u = y^(1 - 3) = y^(-2)....(II) ⇒ du / dx = -2[ y^(-3) ]·(dy / dx) ⇒ [ y^(-3) ]·(dy / dx) = (-1 / 2)(du / dx)....(III) olur.

    (II) ve (III) ifadeleri (I) denkleminde yerlerine yazılırsa; (-1 / 2)(du / dx) + u = x ⇒ du / dx - 2u = -2x....(IV) olarak çıkan ifade 1. Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklem olup Sabitin Değişimi (Variation of Parameters) yöntemiyle çözülmek üzere (IV) eşitliğinin sol tarafı sıfıra eşitlenirse;

    du / dx - 2u = 0 ⇒ du / u - 2dx = 0 ve integraller alınırsa ln(u) - 2x = -ln(c1) ⇒ ln(u·c1) = 2x ⇒ u·c1 = e^2x ⇒ u = c·e^2x....(V) bulunur.

    c = f(x) bulunabilecek şekilde (V) ifadesinin türevleri alınırsa;

    du / dx = (dc / dx)·e^2x + c·2e^2x....(VI)

    (V) ve (VI) eşitlikleri (IV) denkleminde yerlerine yazılırlarsa;

    (dc / dx)·e^2x + c·2e^2x - 2c·u^2x = -2x ⇒ dc / dx = -2x·e^(-2x) ⇒ dc = -2x·[ e^(-2x) ]dx olur ve c = -2∫x·[ e^(-2x) ]dx + k....(VII) ifadesinde;

    u1 = x ⇒ du1 = dx, dv1 = [ e^(-2x) ]dx ⇒ v1 = -(1 / 2)e^(-2x) değişken dönüştürmeleriyle kısmi integrasyon uygulanarak devam edilirse (VII) eşitliği;

    c = -2{ (-x / 2)e^(-2x) - ∫ [ -(1 / 2)e^(-2x) ]dx } + k

    c = x·e^(-2x) - ∫e^(-2x) ]dx + k

    c = x·e^(-2x) + (1 / 2)e^(-2x) + k

    c = [ (2x + 1) / 2 ]e^(-2x) + k....(VIII) bulunur.

    (VIII) değeri (V) eşitliğinde yerine yazılırsa;

    u = { [ (2x + 1) / 2 ]e^(-2x) + k }·e^2x

    u = (2x + 1) / 2 + k·e^2x

    u = (2x + 1 + 2k·e^2x) / 2....(IX) olur.

    (IX) değeri de (II) eşitliğinde yerine yazılırsa;

    (2x + 1 + 2k·e^2x) / 2 = y^(-2) ve düzenlenirse;

    y^2 = 2 / (2x + 1 + 2k·e^2x)

    y = ∓√ [ 2 / (2x + 1 + K·e^2x) ]

    y = ∓√ [ 2 / (K·e^2x + 2x + 1) ] çözümü bulunur.

    WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=xy' + xy = (x^2)·(y^3)
    ---
    SORU - 4
    (x^2)dy + (xy - 2x^2 - 1)dx = 0 birinci mertebeden lineer diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz.

    dy / dx + (xy - 2x^2 - 1) / x^2 = 0

    dy / dx + y / x - (2x^2 + 1) / x^2 = 0

    dy / dx + y / x = (2x^2 + 1) / x^2....(I)

    y = uv....(II) değişken dönüşümüyle dy / dx = u(dv / dx) + v(du / dx) yazılıp bu değer (I) denkleminde yerine yazılırsa;

    u(dv / dx) + v(du / dx) + uv / x = (2x^2 + 1) / x^2

    u(dv / dx + v / x) + v(du / dx) = (2x^2 + 1) / x^2....(III) haline gelir ve dv / dx + v / x = 0 olacak şekilde v = f(x) aranırsa;

    dv / v + dx / x = 0 ⇒ ln(v) + ln(x) = ln(1) ⇒ v = 1 / x....(IV) bulunarak bu değer (III) eşitliğinde yerine yazılırsa 0 + (1 / x)(du / dx) = (2x^2 + 1) / x^2 ve

    buradan du = (2x + 1 / x)dx ⇒ u = x^2 + ln(x) + c....(V) olur.

    (IV) ve (V) eşitlikleri (II) numaralı y = uv ifadesinde yerlerine yazılırlarsa y = c / x + x + ln(x) / x çözümü bulunur.

    WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=(x^2)dy + (xy - 2x^2 - 1)dx = 0
    ---
    SORU - 5
    y - x(dy / dx) + (1 / 5)(dy / dx)^2 = 0 diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz.

    "Clairaut" denklemi olup genel çözüm için y' = dy / dx = p alınırsa y - xp + p^2 / 5 = 0 ⇒ y = xp - p^2 / 5....(I) ve buradan x değişkenine göre türev alınırsa;

    y' = p = p + x(dp / dx) - (2p / 5)(dp / dx)

    x(dp / dx) - (2p / 5)(dp / dx) = 0

    (dp / dx)(x - 2p / 5) = 0 ⇒ dp / dx = 0 ⇒ dp = 0 ⇒ p = c....(II) ve ayrıca x - 2p / 5 = 0 çarpanından da x = 2p / 5....(III) bulunur.

    (II) değeri (I) eşitliğinde yerine yazılırsa y = cx - c^2 / 5 genel çözümü elde edilir.

    (II) ve (III) değeri (I) eşitliğinde yerine yazılırsa y = (2p / 5)p - p^2 / 5 = p^2 / 5....(IV)

    O halde (III) ve (IV) eşitlikleri tekil çözümün parametrik denklemleri olup bunlardan p yok edilirse [ (III) eşitliğinden p = 5x / 2 çekilip (IV) denkleminde yerine yazılıp üzenlenerek ];

    y = (25x^2 / 4) / 5 = 5x^2 / 4....(V) şeklinde tekil çözümün kartezyen koordinatlardaki parabol denklemi bulunmuş olur.

    WolframAlpha yine tuhaf bir sonuç verdiğinden;
    http://www.wolframalpha.com/input/?i=y - x(dy / dx) + (1 / 5)(dy / dx)^2 = 0

    klasik kontrol olarak (V) eşitliğinden türev alınıp problemdeki denklemde yerine yazılırsa;

    dy / dx = 10x / 4 = 5x / 2

    5x^2 / 5 - x(5x / 2) + (1 / 5)[ (5x / 2)^2 ] =

    5x^2 / 4 - 5x^2 / 2 + 5x^2 / 4 =

    5x^2 / 2 - 5x^2 / 2 = 0 olduğu görülür.
    ---
    SORU - 6
    y[ (1 - x^2)^(1 / 2) ]dy - xdx = 0 diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz.

    y√(1 - x^2)dy = xdx

    ydy = xdx / √(1 - x^2) şeklinde "Değişkenlerine Ayrılabilir" denklem olup eşitliğin sağ tarafındaki terim için 1 - x^2 = u değişken dönüşümüyle -2xdx = du ⇒ xdx = -du / 2 olup denklem;

    ydy = -(1 / 2)du / √u = -(1 / 2)u^(-1 / 2)du ve integraller alınırsa;

    y^2 / 2 + c1 = (-1 / 2)u^(1 / 2) / (1 / 2)

    y^2 / 2 + c1 = -√(1 - x^2)

    y^2 = c - 2√(1 - x^2)

    y = ∓[ c - 2√(1 - x^2) ]^0,5 çözümünü WolframAlpha'ya da beğendirebilmek için c = 2K gibi başka bir sabit yazılırsa;

    y = ∓(√2)·√[ K - √(1 - x^2) ] bulunur.

    WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=y( (1 - x^2)^(1 / 2) )dy - xdx = 0
    ---
    SORU - 7
    p = dy / dx olmak üzere p^2 - (x + y)sinx + p(x + y - sinx) = 0 yüksek dereceden diferansiyel denkleminin çözümünü bulunuz.

    p^2 - xsinx - ysinx + px + py - psinx = 0

    y(p - sinx) = psinx + xsinx - px - p^2

    y(p - sinx) = (p + x)sinx - p(p + x)

    y(p - sinx) = (p + x)(sinx - p)

    y(p - sinx) + (p - sinx)(p + x) = 0

    (p - sinx)(y + p + x) = 0

    p = sinx ⇒ dy = sinxdx ⇒ y = -cosx + c....(I)

    y + p + x = 0 ⇒ dy / dx + y = -x....(II) ifadesi 1. Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklem olup y = uv değişken dönüşümüyle dy / dx = u(dv / dx) + v(du / dx) yazılıp

    (II) denkleminde kullanılırsa;

    u(dv / dx) + v(du / dx) + uv = -x ⇒ u(dv / dx + v) + v(du / dx) = -x....(III) haline gelir ve dv / dx + v = 0 olacak şekilde v = f(x) aranırsa;

    dv / v = -dx ⇒ ln(v) = -x ⇒ v = e^(-x)....(IV) bulunarak bu değer (III) eşitliğinde yerine yazılırsa 0 + [ e^(-x) ](du / dx) = -x eşitliğinden;

    du = -x(e^x)dx olup Kısmi İntegrasyonla u = -xe^x + e^x + c = (e^x)(1 - x) + c....(V) bulunur.

    (IV) ve (V) eşitlikleri y = uv ifadesinde yerlerine yazılırlarsa;

    y = [ (e^x)(1 - x) + c ]·[ e^(-x) ] = 1 - x + c·e^(-x)....(VI)

    (I) ve (VI) ile (y + cosx + c)·[y + x - c·e^(-x) - 1] = 0 ve buradan da;

    Birinci çarpandan; y + cosx + c = 0 ⇒ y = -c - cosx = c1 - cosx,

    İkinci çarpandan; y + x - c·e^(-x) - 1 = 0 ⇒ y = c1·e^(-x) - x + 1 çözümleri bulunur.

    WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=(dy / dx)^2 - (x + y)*sin(x) + (dy / dx)*(x + y - sin(x)) = 0
    ---
    Soruların asıllarının yedeği: https://s19.postimg.org/ghwoaszb7/7_Diferansiyel_Denklem.png
    Gamze000 bunu beğendi.
  4. Gamze000

    Gamze000 Yeni Üye

    Mesajlar:
    11
    Beğenileri:
    3
    Cinsiyet:
    Bayan
    Çok teşekkürler
    Honore bunu beğendi.
  5. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    2.102
    Beğenileri:
    306
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Rica ederim, iyi çalışmalar.

Sayfayı Paylaş