Çözüldü Diferansiyel Denklemler ve Çift Değişkenli Fonksiyonun Taylor Serisi (3 soru)

Soru - 1:
Sabit katsayılar böyleyken karakteristik denklem olan r^4 - 4r^3 - 10r^2 - 12r + 5 = 0 denkleminin kökleri ancak bir Sayısal Çözümleme (Numerical Analysis) yöntemiyle bulunabilir:
r1 ≈ 0,321
r2 = 5,983
r4 = -1,152 - 1,1305·i
r5 = -1,152 + 1,1305·i
WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=r^4-4r^3-10r^2-12r+5=0

Genel çözüm: y = c1·(e^0,321x) + c2·(e^5,983x) + c3·[ e^(-1,152x) ]·sin(1,1305x) + c4·[ e^(-1,152x) ]·cos(1,1305x)

WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=y'''' -4y'''-10y''-12y'+5y=0
("Approximate form" butonuna tıklanarak görülebilir.)

Not: WA sonucunda e yerine yaklaşık değeri olan 2,71828 kullanılmış ve trigonometrik form yerine doğrudan kompleks köklerle gösterilmiş.
---
Soru - 2:
Yazıldığı gibi f(x, y) = ln[ (y^2 / x) + 1 ] olursa fonksiyon x = 0 için hem kendisinde hem de türevlerinde tanımsız olduğundan burada da parantez hatası var yani fonksiyon aslında
f(x, y) = ln[ y^2 / (x + 1) ] şeklinde olmalı.

4. terime kadar P(0, e) etrafındaki Taylor Polinomu;



∂f(x, y) / ∂x = [ -(y^2) / (x + 1)^2 ] / [ y^2 / (x + 1) ] = -1 / (x + 1)
WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=∂(ln(y^2/(x+1)))/∂x=

∂f(x, y) / ∂y = [ 2y / (x + 1) ] / [ y^2 / (x + 1) ] = 2 / y
WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=∂(ln(y^2/(x+1)))/∂y=

Aşağıda verilen kaynaktaki notasyona göre;

L(x, y) = L(0, e) = f(0, e) = ln[ (e^2) / (0 + 1) ] = 2




WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=second derivative &assumption={"C", "second derivative"} -> {"Calculator"}&assumption={"F", "SecondDerivativeCalculator", "derivativefunction"} ->"log(y^2/(x+1))"



Bunlara göre 4. terime kadar açılırsa;
f(x, y) ≈ 2 + (-1)(x - 0) + (2 / e)(y - e) + (1 / 2)(x - 0)^2
f(x, y) ≈ 2 - x + (2 / e)(y - e) + (x^2) / 2

Kaynak:
https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Supplemental_Modules_(Calculus)/Multivariable_Calculus/3:_Topics_in_Partial_Derivatives/Taylor__Polynomials_of_Functions_of_Two_Variables
---
Soru - 3:
(Soruda sağ tarafta ikinci terimde paydada olması gereken parantez eklendi.)
y = u·x....(I) değişken dönüşümüyle y' = (u')·x + u·1 olup bu ifadeyle denklem;
(u')·x + u = u·x / x - (u·x / x)·ln(u·x / x)
(u')·x = -u·lnu
(du / dx)x = -u·lnu
du / (u·lnu) = -dx / x
Sol tarafta lnu = p...(II) değişken dönüşümüyle du / u = dp yazılıp denklem dp / p = -dx / x ve buradan da dp / p + dx / x = 0 haline gelerek terimlerin integrali alınarak;
lnp + lnx = lnc1
p·x = c1....(III)
(II) ifadesi (III)'te kullanılıp (lnu)·x = c1....(IV) ve (I)'den u = y / x alınıp (IV)'e konularak;
x·ln(y / x) = c1
ln(y / x) = c1 / x
y / x = e^(c1 / x)
y = x·[ e^(c1 / x) ] genel çözümü bulunur.
WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=y' = y / x - (y / x)·ln(y / x)
("Differential equation solution:" başlığı altında)
---
Soruları gönderen, yazdıktan sonra çekip gitmesini takiben en az 44 saat 15 dakika süreyle çözüm var mı yok mu diye bile gelip bakmadığı için forumdan atılmıştır!