Çözüldü Diferansiyel Denklemler

Konusu 'Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları' forumundadır ve Gamze000 tarafından 20 Aralık 2017 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Gamze000

    Gamze000 Yeni Üye

    Mesajlar:
    11
    Beğenileri:
    3
    Cinsiyet:
    Bayan
    IMG-20171219-WA0020.jpg Bakar misiniz?

  2. Benzer Konular: Diferansiyel Denklemler
    Forum Başlık Tarih
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel denklemler (7 soru) 29 Aralık 2017
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel denklemler (5 soru) 29 Aralık 2017
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel Denklemler (3 Soru) 27 Aralık 2017
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Lineer Diferansiyel Denklemler - Laplace Dönüşümleri (5 Soru) 19 Aralık 2017
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel Denklemler (7 Soru) 19 Aralık 2017

  3. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    2.102
    Beğenileri:
    306
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    SORU - 1
    (x^2 + x)·p^2 + (x^2 - 2xy -y)·p - y(x - y) = 0 diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz.

    p = dy / dx ifadesine bağlı ikinci derece denklem olarak çözülürse;

    p = { (-x^2 + 2xy + y) ∓ [ (x^2 - 2xy - y)^2 + 4y(x - y)(x^2 + x) ]^0,5 } / [ 2x(x + 1) ]....(I)

    Δ = (x^2 - 2xy - y)^2 + 4y·(x - y)·(x^2 + x)

    Δ = [x^2 - y·(2x + 1) ]^2 + 4y(x^3 + x^2 - y·x^2 - x·y)

    Δ = x^4 - 2(x^2)·y·(2x + 1) + (y^2)·(4x^2 + 4x + 1) + 4(x^3)·y + 4(x^2)·y - 4(x^2)·y^2 - 4x·(y^2)

    Δ = x^4 - 4(x^3)·y - 2(x^2)·y + 4(x^2)·(y^2) + 4(x)·(y^2) + y^2 + 4(x^3)·y + 4(x^2)·y - 4(x^2)·(y^2) - 4(x)·(y^2)

    Δ = x^4 + 2(x^2)y + y^2

    Δ = (x^2 + y)^2....(II)

    (II) ifadesi (I)'de yerine yazılırsa;

    p = [ (-x^2 + 2xy + y) ∓ (x^2 + y) ] / [ 2x(x + 1) ]....(III)

    (III) ifadesinde + işareti alınarak;

    p1 = (2xy + 2y) / [ 2x(x + 1) ]

    p1 = y / x ⇒ dy1 / dx = y1 / x ⇒ dy1 / y1 = dx / x1 olup integraller alınırsa;

    ln(y1) = lnx + ln(c1) = ln(c1·x)

    y1 = c1·x çözümü,

    (III) ifadesinde - işareti alınarak;

    p2 = 2x(y - x) / [ 2x(x + 1) ]

    dy2 / dx - y / (x + 1) = -x / (x + 1) birinci mertebeden linear diferansiyel denklem bulunarak daha önceki örneklerde olduğu gibi "Sabitin Değişimi" veya "y = uv" değişken dönüşümüyle kolayca,

    y2 = c1·(x + 1) - (x + 1)·ln(x + 1) - 1 çözümü bulunur.

    WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=(x^2+x)*((dy/dx)^2)+(x^2-2xy-y)*(dy/dx)-y(x-y)=0
    ---
    SORU - 2
    [ x·cosy / (siny)^2 - 1 ]dy - dx / siny = 0 diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz.

    Denklem düzenlenirse;

    dx / siny - [ x·cosy / (siny)^2 - 1 ]dy = 0

    dx / siny + [ 1 - x·cosy / (siny)^2 ]dy = 0

    M(x,y) = 1 / siny ⇒ ∂M / ∂y = -cosy / (siny)^2

    N(x,y) = 1 - x·cosy / (siny)^2 ⇒ ∂N / ∂x = -cosy / (siny)^2

    ∂M / ∂y = ∂N / ∂x nedeniyle "Tam Diferansiyel" denklem olup çözümü u(x,y) = c şeklindedir.

    M(x,y) = ∂u / ∂x = 1 / siny ⇒ u(x,y) = ∫dx / siny + F(y) = x / siny + F(y)....(I) olup F(y) bulunmak üzere y değişkenine göre türev alınıp N(x,y) ifadesine eşitlenirse;

    ∂u / ∂y = -x·cosy / (siny)^2 + F'(y) = 1 - x·cosy / (siny)^2 ⇒ F'(y) = 1 ⇒ F(y) = y + k olup aranan u(x,y) fonksiyonu da (I) eşitliğpine göre;

    u(x,y) = x / siny + y + k ve diferansiyel denklemin çözümü de x / siny + y = c olup WolframAlpha da beğensin diye düzenlenirse;

    x + y·siny = c1·siny

    x = c1·siny - y·siny

    x = c1·(siny - y) bulunur.

    WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=(x·cos(y) / (sin(y))^2 - 1)dy - dx / siny = 0
    ---
    SORU - 3
    y' = y / x + tan(y / x) homojen diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz.

    u = y / x değişken dönüşümüyle y = ux ⇒ y' = dy / dx = u + x·(du / dx) olup denklem;

    u + x·(du / dx) = u + tan(u)

    x·(du / dx) = tan(u)

    cot(u)du = dx / x ve integraller alınırsa;

    ln[ sin(u) ] = ln(x) + ln(c1)

    sin(u) = c1·x

    y / x = u yazılarak;

    sin(y / x) = c1·x ve y çekilirse;

    y / x = arcsin(c1·x)

    y = x·arcsin(c1·x) çözümü bulunur.

    WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=y' = y / x + tan(y / x)
    ---
    SORU - 4
    y' = -8y^2 + (16x^2 + 4x)y - (8x^3 + 4x^2 - 1) Riccati denkleminin bir özel çözümü y1 = x ise genel çözümünü bulunuz.

    y = y1 + 1 / u ⇒ y' = 1 - u' / u^2 değişken dönüşümü yapılırsa;

    1 - u' / u^2 = -8x(x + 1 / u)^2 + (16x^2 + 4x)(x + 1 / u) - 8x^3 - 4x^2 + 1

    -u' / u^2 = -8x(x^2 + 2x / u + 1 / u^2) + 16x^3 + 16x^2 / u + 4x^2 + 4x / u - 8x^3 - 4x^2

    -u' / u^2 = -8x(u^2·x^2 + 2u·x + 1) / u^2 + (16u·x^3 + 16x^2 + 4u·x^2 + 4ux - 8u·x^3 - 4u·x^2) / u

    -u' = -8x(u^2·x^2 + 2u·x + 1) + 16u^2·x^3 + 16u·x^2 + 4x^2·u^2 + 4u·x - 8u^2·x^3 - 4u^2·x^2

    -u' = -8u^2·x^3 - 16u·x^2 - 8x + 16u^2·x^3 + 16u·x^2 + 4x^2·u^2 + 4u·x - 8u^2·x^3 - 4u^2·x^2

    -u' = -8x + 4ux

    u' = 4x(2u - 1)

    u' / (2u - 1) = 4x olup integraller alınırsa

    (1 / 2)ln(2u - 1) = 2x^2 + ln(c3)

    ln[ c2·√(2u - 1) ] = 2x^2

    c2·√(2u - 1) = e^(2x^2)

    √(2u - 1) = c1·[ e^(2x^2) ]

    2u - 1 = c·[ e^(4x^2) ]....(I)

    y = x + 1 / u ⇒ u = 1 / (y - x) ⇒ 2u = 2 / (y - x) olup (I) denkleminde yerine yazılırsa;

    2 / (y - x) - 1 = c·[ e^(4x^2) ]

    2 / (y - x) = c·[ e^(4x^2) ] + 1

    2 / { c·[ e^(4x^2) ] + 1 } = y - x

    y = x + 2 / { c·[ e^(4x^2) ] + 1 } çözümü çıkıyor ama birkaç değişik şekilde yazmama rağmen WolframAlpha'ya anlatamadığım için bir doğrulama veremiyorum. Çözümün bir hocaya gösterilmesi uygun olur.
    ---
    SORU - 5
    y = -x·p + ln(p) Lagrange diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz.


    y' = p değişken dönüşümüyle denklemde x değişkenine göre türev alınırsa;

    p = -p - x·(dp / dx) + (dp / dx) / p

    2p = (dp / dx)·(1 / p - x)

    2p^2 = (dp / dx)·(1 - p·x)

    (2p^2)·(dx / dp) = 1 - p·x

    dx / dp + x / 2p = 1 / 2p^2....(I) şeklinde x değişkeninin bilinmeyen olduğu 1. Mertebeden Lineer Diferansiyel denklem haline gelir.

    x = u·v....(II) değişken dönüşümüyle türev alınırsa,

    dx / dp = u·(dv / dp) + v·(du / dp) olup bu ifade (I) denkleminde yerine yazılırsa;

    u·(dv / dp) + v·(du / dp) + u·v / 2p = 1 / 2p^2 ve düzenlenirse;

    u·(dv / dp + v / 2p) + v·(du / dp) = 1 / 2p^2....(III) olup çözüm için dv / dp + v / 2p = 0 alınıp integrallenirse v = 1 / p....(IV) bulunur.

    (IV) eşitliği (III) denkleminde yerine yazılırsa (1 / p)·(du / dp) = 1 / 2p^2 ⇒ du = dp / 2p ve integral alınarak;

    u = (1 / 2)ln(p) + ln(c) ⇒ u = ln(c·√p)....(V) olur.

    (IV) ve (V) eşitlikleri (II) bağıntısında yerlerine yazılarak;

    x = (1 / p)·ln(c·√p) bulunur.

    Sonuç olarak;

    x = (1 / p)·ln(c·√p)

    y = -x·p + ln(p)

    eşitlikleri, genel çözümün parametrik denklemleridir.

    Not: WolframAlpha p nin yok edilerek y = f(x) şeklinde bir çözümü ancak "product log function" ile göstermektedir ancak aşağıdaki kaynaklara göre genel çözüm parametrik denklemler halinde verilmektedir.

    1. "Çözümlü Problemlerle Diferansiyel Denklemler", Prof.Dr. Metin Başarır, Doç.Dr. Eyüp Sabri Türker
    Değişim Yayınları, Eylül 2003, 2. Baskı, Sayfa 134 Örnek 1, Sayfa 135 Örnek 2, sayfa 136 Örnek 3, Sayfa 137 Örnek 4

    2. "Yüksek Matematik", Cilt 3, Prof. Ahmet A. Karadeniz, Çağlayan Kitabevi, 1983, 3. Baskı, Sayfa 36'daki Örnek

    3. "Yüksek Matematik - II", Nadir Cömert, Yüksek Teknik Öğretmen Okulu Yayınları, 1977, Sayfa 278'deki Örnek
    ---
    SORU - 6
    y1 = 1 + x
    y2 = 2 + t^2 + 2x
    fonksiyonlarının lineer bağımlı olabilmesi için t ne olmalıdır?


    t^2 = 0 ⇒ t = 0 olursa y2 = 2 + 2x = 2(1 + x) ve y2 / y1 = 2 olarak iki fonksiyon lineer bağımlıdır çünkü;

    "Two functions are said to be linearly dependent on an open interval provided that they are not linearly independent there; that is, one of them is a constant multiple of the other. We can always determine whether two given functions f and g are linearly dependent on an interval I by noting at a glance whether either of the two quotients f/g or g/f is a constant-valued function on I."

    Kaynak:
    "Elementary Differential Equations", C. Henry Edwards & David E. Penney, sixth Edition, Pearson Prentice Hall, page 105 (pdf 118)
    http://users.math.cas.cz/~eisner/lo...uations_-6th_Edition-_Prentice_Hall_pp648.pdf
    ---
    Not: Soruların asıllarının yedeği ektedir.

    Ekli Dosyalar:

Sayfayı Paylaş