Çözüldü Dördüncü Derece Denklem

Konusu 'Denklem Çözme,Basit Eşitsizlik,Oran-Orantı,Özdeşlikler ve Çarpanlara Ayırma' forumundadır ve Honore tarafından 15 Mart 2018 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    3.043
    Beğenileri:
    368
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Sayın Şamil Hocamızın başka sitedeki sorularından biri:

    4x⁴ - 12x³ - 7x² + 22x + 14 = 0 denkleminin dört reel kökü vardır. Bu köklerden ikisinin toplamı 1 ise tüm kökleri bulunuz.

    Kıymetli Şamil Üstadım çarpanlara ayrılmış halini vermişti, ben de çözümü şöyle yapmaya çalıştım:

    x1 + x2 + x3 + x4 = -(-12 / 4) = 3
    x3 + x4 = 1 ⇒ x1 + x2 = 3 - 1 = 2
    4. derece denklem (ax^2 + bx + c)(dx^2 + ex + f) şeklinde iki 2. derece denklemin çarpımı olarak yazılabileceğinden;
    -b / a = 2 ⇒ b = -2a....(0) ve -e / d = 1 ⇒ e = -d değerleri 2. derece denklemlerde yerlerine konursa;
    (ax^2 - 2ax + c)(dx^2 - dx + f) =
    adx^4 - adx^3 + afx^2 - 2adx^3 + 2adx^2 - 2afx + cdx^2 - cdx + cf =
    adx^4 - 3adx^3 + (af + 2ad + cd)x^2 - (2af + cd)x + cf olup problemdeki 4. derece denklemle karşılaştırılırsa Belirsiz Katsayılar (Undetermined Coefficients) Kuralı ile;
    ad = 4 ⇒ d = 4 / a....(I)
    af + 2ad + cd = -7 ⇒ af + cd = -15....(II)
    2af + cd = -22....(III)
    (II) ve (III) denklemlerinden;
    af = -7 ⇒ f = -7 / a....(IV),
    cd = -8 ⇒ c = -8 / d ve (I) eşitliği burada yerine yazılırsa c = -2a....(V)
    e = -d = -4 / a....(VI)
    b, c, d, e, f katsayılarının a cinsinden eşdeğerleri sırasıyla (0), (V), (I), (VI), (IV) eşitliklerinden alınıp 2. derece denklemlerde yerlerine yazılırlarsa;
    (ax^2 - 2ax - 2a)(4x^2 / a - 4x / a - 7 / a) = 0
    a(x^2 - 2x - 2)(1 / a)(4x^2 - 4x - 7) = 0
    (x^2 - 2x - 2)(4x^2 - 4x - 7) = 0

    İkinci derece denklem formülüyle de kökler;
    x1 = 1 - √3
    x2 = 1 + √3
    x3 = 0,5 - √2
    x4 = 0,5 + √2


    WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=4x⁴-12x³-7x²+22x+14=0

  2. Benzer Konular: Dördüncü Derece
    Forum Başlık Tarih
    Toplam ve Çarpım Sembolü,Diziler ve Seriler,Matris ve Determinant Toplam Sembolü ve Dördüncü Derece (Quartic) Denklem Kökleri 18 Ocak 2016
    Hatalı veya Tekrarlanmış Sorular 2. Derece Polinom - Türev - İntegral Bugün 09:56
    Matematik - Geometri Çarpanlara Ayırma - İkinci Derece Türev 18 Mart 2019
    Matematik - Geometri İkinci Derece Denklem Formülüyle Sayısal İşlem 18 Mart 2019
    Matematik - Geometri Doğrusal (Lineer) Programlama - Birinci Derece Eşitsizlikler 3 Mart 2019

Sayfayı Paylaş