Çözüldü Dördüncü Derece Denklem

Konusu 'Denklem Çözme,Basit Eşitsizlik,Oran-Orantı,Özdeşlikler ve Çarpanlara Ayırma' forumundadır ve Honore tarafından 15 Mart 2018 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    2.644
    Beğenileri:
    354
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Sayın Şamil Hocamızın başka sitedeki sorularından biri:

    4x⁴ - 12x³ - 7x² + 22x + 14 = 0 denkleminin dört reel kökü vardır. Bu köklerden ikisinin toplamı 1 ise tüm kökleri bulunuz.

    Kıymetli Şamil Üstadım çarpanlara ayrılmış halini vermişti, ben de çözümü şöyle yapmaya çalıştım:

    x1 + x2 + x3 + x4 = -(-12 / 4) = 3
    x3 + x4 = 1 ⇒ x1 + x2 = 3 - 1 = 2
    4. derece denklem (ax^2 + bx + c)(dx^2 + ex + f) şeklinde iki 2. derece denklemin çarpımı olarak yazılabileceğinden;
    -b / a = 2 ⇒ b = -2a....(0) ve -e / d = 1 ⇒ e = -d değerleri 2. derece denklemlerde yerlerine konursa;
    (ax^2 - 2ax + c)(dx^2 - dx + f) =
    adx^4 - adx^3 + afx^2 - 2adx^3 + 2adx^2 - 2afx + cdx^2 - cdx + cf =
    adx^4 - 3adx^3 + (af + 2ad + cd)x^2 - (2af + cd)x + cf olup problemdeki 4. derece denklemle karşılaştırılırsa Belirsiz Katsayılar (Undetermined Coefficients) Kuralı ile;
    ad = 4 ⇒ d = 4 / a....(I)
    af + 2ad + cd = -7 ⇒ af + cd = -15....(II)
    2af + cd = -22....(III)
    (II) ve (III) denklemlerinden;
    af = -7 ⇒ f = -7 / a....(IV),
    cd = -8 ⇒ c = -8 / d ve (I) eşitliği burada yerine yazılırsa c = -2a....(V)
    e = -d = -4 / a....(VI)
    b, c, d, e, f katsayılarının a cinsinden eşdeğerleri sırasıyla (0), (V), (I), (VI), (IV) eşitliklerinden alınıp 2. derece denklemlerde yerlerine yazılırlarsa;
    (ax^2 - 2ax - 2a)(4x^2 / a - 4x / a - 7 / a) = 0
    a(x^2 - 2x - 2)(1 / a)(4x^2 - 4x - 7) = 0
    (x^2 - 2x - 2)(4x^2 - 4x - 7) = 0

    İkinci derece denklem formülüyle de kökler;
    x1 = 1 - √3
    x2 = 1 + √3
    x3 = 0,5 - √2
    x4 = 0,5 + √2


    WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=4x⁴-12x³-7x²+22x+14=0

  2. Benzer Konular: Dördüncü Derece
    Forum Başlık Tarih
    Toplam ve Çarpım Sembolü,Diziler ve Seriler,Matris ve Determinant Toplam Sembolü ve Dördüncü Derece (Quartic) Denklem Kökleri 18 Ocak 2016
    Diğer İkinci Dereceli Terimsiz Üçüncü Derece Denklemde Reel Köklerin Sayısı Dün 17:07
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol İkinci Derece Trigonometrik Denklem Pazar 19:39
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Yüksek Dereceli Türev - Binom Açılımı Cumartesi 13:17
    Denklem Çözme,Basit Eşitsizlik,Oran-Orantı,Özdeşlikler ve Çarpanlara Ayırma İkinci Derece Denklemler 5 Kasım 2018

Sayfayı Paylaş