Çözüldü Dördüncü Derece Denklem

Konusu 'Denklem Çözme,Basit Eşitsizlik,Oran-Orantı,Özdeşlikler ve Çarpanlara Ayırma' forumundadır ve Honore tarafından 15 Mart 2018 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    2.317
    Beğenileri:
    332
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Sayın Şamil Hocamızın başka sitedeki sorularından biri:

    4x⁴ - 12x³ - 7x² + 22x + 14 = 0 denkleminin dört reel kökü vardır. Bu köklerden ikisinin toplamı 1 ise tüm kökleri bulunuz.

    Kıymetli Şamil Üstadım çarpanlara ayrılmış halini vermişti, ben de çözümü şöyle yapmaya çalıştım:

    x1 + x2 + x3 + x4 = -(-12 / 4) = 3
    x3 + x4 = 1 ⇒ x1 + x2 = 3 - 1 = 2
    4. derece denklem (ax^2 + bx + c)(dx^2 + ex + f) şeklinde iki 2. derece denklemin çarpımı olarak yazılabileceğinden;
    -b / a = 2 ⇒ b = -2a....(0) ve -e / d = 1 ⇒ e = -d değerleri 2. derece denklemlerde yerlerine konursa;
    (ax^2 - 2ax + c)(dx^2 - dx + f) =
    adx^4 - adx^3 + afx^2 - 2adx^3 + 2adx^2 - 2afx + cdx^2 - cdx + cf =
    adx^4 - 3adx^3 + (af + 2ad + cd)x^2 - (2af + cd)x + cf olup problemdeki 4. derece denklemle karşılaştırılırsa Belirsiz Katsayılar (Undetermined Coefficients) Kuralı ile;
    ad = 4 ⇒ d = 4 / a....(I)
    af + 2ad + cd = -7 ⇒ af + cd = -15....(II)
    2af + cd = -22....(III)
    (II) ve (III) denklemlerinden;
    af = -7 ⇒ f = -7 / a....(IV),
    cd = -8 ⇒ c = -8 / d ve (I) eşitliği burada yerine yazılırsa c = -2a....(V)
    e = -d = -4 / a....(VI)
    b, c, d, e, f katsayılarının a cinsinden eşdeğerleri sırasıyla (0), (V), (I), (VI), (IV) eşitliklerinden alınıp 2. derece denklemlerde yerlerine yazılırlarsa;
    (ax^2 - 2ax - 2a)(4x^2 / a - 4x / a - 7 / a) = 0
    a(x^2 - 2x - 2)(1 / a)(4x^2 - 4x - 7) = 0
    (x^2 - 2x - 2)(4x^2 - 4x - 7) = 0

    İkinci derece denklem formülüyle de kökler;
    x1 = 1 - √3
    x2 = 1 + √3
    x3 = 0,5 - √2
    x4 = 0,5 + √2


    WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=4x⁴-12x³-7x²+22x+14=0

  2. Benzer Konular: Dördüncü Derece
    Forum Başlık Tarih
    Toplam ve Çarpım Sembolü,Diziler ve Seriler,Matris ve Determinant Toplam Sembolü ve Dördüncü Derece (Quartic) Denklem Kökleri 18 Ocak 2016
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Yüksek Dereceli Trigonometrik Türev - Modüler Aritmetik 30 Haziran 2018
    Matematik - Geometri Birinci Derece İki Bilinmeyenli Denklem Sistemi (2 Soru) 23 Haziran 2018
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Ters Fonksiyon Türevi - Üçüncü Derece Denklem Çözümü 21 Haziran 2018
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Trigonometrik Fonksiyonlarda Radyan ve Derece 19 Haziran 2018

Sayfayı Paylaş