Çözüldü Düzgün Altıgen ve Beşgende Açı - Sinüs Teoremi

Konusu 'Dörtgenler ve Çokgenler' forumundadır ve Honore tarafından 6 Kasım 2018 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    2.644
    Beğenileri:
    354
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    [​IMG]
    https://image.ibb.co/dw5zkA/altigen-icinde-besgen.png
    https://scontent-vie1-1.xx.fbcdn.ne...=b231fa6e43b8dc48ac945e96a7018db4&oe=5C825DA6
    https://www.facebook.com/photo.php?...&set=gm.2225853087649889&type=3&theater&ifg=1

    Seçenekler hatalı verildiğinden sentetik bir çözümün yapılamayacağını düşünüyorum.

    Düzgün altıgenin bir kenarı: a
    Düzgün beşgenin bir kenarı: b
    Düzgün altıgende eşit iç açılardan ECF = (6 - 2)·180° / 6 = 120°
    Düzgün beşgende eşit iç açılardan AED = (5 - 2)·180° / 5 = 108°
    ABCE üç kenarı eşit yamukta EAB = CBA = 108° ve AEC = ECB olduğundan 2·ECB + 2·108° = 360°⇒ AEC = ECB = 72°
    CDE ikizkenar üçgeninde DEC = DCE = 108° - 72° = 36° ⇒ EDC = 180 - 2·36° = 108°
    ΔCDE için Sinüs Teoremi ile a / sin 108° = b / sin36° ⇒ a / sin(180 - 108) = b / sin36°
    a / [ 2(sin36°)·cos36° ] = b / sin36° ⇒ a = 2b·cos36°....(I)
    DCF = 120° - 36° = 84°
    DFC = 180° - 84° - α = 96° - α
    ΔCDF için Sinüs Teoremi ile b / sin(96° - α) = a / sinα ⇒ b / cos(6° - α) = a / sinα....(II)
    (I) eşitliği (II) ifadesinde sağ taraftaki yerine yazılırsa;
    b / cos(6° - α) = 2b·cos36° / sinα
    sinα = 2[ cos(6° - α) ]·cos36°
    sinα = 2[ (cos6°)·(cosα) + (sin6°)·(sinα) ]·cos36°....(III)
    (III) ifadesinde her terim cosα ile bölünürse; tanα = 2(cos6°)·cos36° + 2(sin6°)·(tanα)·cos36°....(IV)
    (IV) eşitliği tanα yalnız bırakılacak şekilde düzenlenirse; tanα = 2(cos6°)·cos36° / [ 1 - 2(sin6°)·cos36° ]
    α = arctan{ 2(cos6°)·cos36° / [ 1 - 2(sin6°)·cos36° ] } ≈ 62,69°

    WolframAlpha Kontrolu:
    (trigonometri fonksiyonlu herhangi bir hesap makinesi ile de yapılabilir)
    http://www.wolframalpha.com/input/?i=arctan( (2(cos(6°))cos(36°))/(1-2(sin(6°))cos(36°)) )

  2. Benzer Konular: Düzgün Altıgen
    Forum Başlık Tarih
    Matematik - Geometri Düzgün Altıgende Çevrel Çember ve İç Teğet Çemberlerin Yarıçapları Oranı 14 Mart 2018
    Analitik Geometri Ve Uzay Geometrisi Düzgün Altıgen 21 Mart 2013
    Matematik - Geometri Düzgün Sekizgende İkizkenar Üçgen Alanı 21 Temmuz 2018
    Matematik - Geometri Düzgün Kare Piramit 17 Haziran 2018
    İlginç ve Sıradışı Çözümler Düzgün Beşgende Uzunluk - Trigonometri 3 Haziran 2018

Sayfayı Paylaş