Çözüldü İkinci Derece Denklem - Türev - Karmaşık Sayılar

Konusu 'Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol' forumundadır ve Honore tarafından 11 Ekim 2018 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    3.262
    Beğenileri:
    374
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    3x^2 + 5x + m = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 ise 1 / x1^2 + 1 / x^2 en küçük değeri aldığında 36x1^2 + 25 / x2^2 = ?
    https://scontent-vie1-1.xx.fbcdn.ne...=2f3981e5ba15ed6a43d659e197a7307b&oe=5C4467AE

    1 / x1^2 + 1 / x2^2 = [ (x1 + x2)^2 - 2x1·x2 ] / [ (x1·x2)^2 ]....(I)
    x1 + x2 = -5 / 3 ve x1·x2 = m / 3 olup bu değerler (I) eşitliğinde yerlerine konup düzenlenirse f(m) = 25 / m^2 - 6 / m ⇒ f '(m) = (6m - 50) / m^3 = 0 ⇒ m = 25 / 3 için problemde verilen ve köklerin terslerinin karelerinin toplamına ilişkin ifade en küçük değerini alır:
    WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=minimum(-6/m+25/m^2)=?

    f(x) = 3x^2 + 5x + 25 / 3 = 0 denkleminin kökleri karmaşık sayılar olup i^2 = -1 ve x = (-5 / 6)(1 ∓ i·√3) = (-5 / 6)·[ e^(∓i·π / 3) ] şeklindedir.
    Not: argüman = ∓arctan[ (√3) / 1 ] = ∓π / 3
    x1 = (-5 / 6)·[ e^(-i·π / 3) ] ve x2 = (-5 / 6)·[ e^(i·π / 3) ] değerleri problemde değeri sorulan ifadedeki yerlerine konursa;
    36(25 / 36)·[ e^(-i·2π / 3) ] + [ 25 / (25 / 36) ]·[ e^(-i·2π / 3) ] = 61·[ e^(-i·2π / 3) ] olup bu karmaşık sayının modülü de 61'dir.
    WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=modulus(61*(e^((-2pi/3)*i)))=

    Ek bilgi: https://www.bilgicik.com/yazi/bir-karmasik-sayinin-mutlak-degeri-modulu/

    Not: Sorunun aslının altında yazılı açıklamadaki gibi bir çözüm olamaz çünkü ∆ = 5^2 - 4·3·m ≥ 0 ⇒ m ≤ 25 / 12 eşitsizliğine uygun olarak m için sonsuz sayıda küçük değer verilebilir ve herbiri için de farklı bir sonuç bulunur.

    Örneğin m = 2 için çıkan kökler x1 = -1 ve x2 = -2 / 3 olarak alınsa 36x1^2 + 25 / x2^2 = 92,25;
    x1 = -2 / 3 ve x2 = -1 olarak seçilince de 36x1^2 + 25 / x2^2 = 41 çıkar.

  2. Benzer Konular: İkinci Derece
    Forum Başlık Tarih
    Matematik - Geometri Pisagor Teoremi - Trigonometrik Özdeşlikler - İkinci Derece Denklem Cuma 17:46
    Matematik - Geometri Daire, Üçgen ve Dikdörtgen Arası Alan - İkinci Derece Denklem Cuma 11:42
    Matematik - Geometri Aritmetik Dizide İlk n Terim Toplamı - İkinci Derece Denklem Çözümü 9 Mayıs 2019
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral İntegral - Türev - Parabol - Üç Bilinmeyenli İkinci Derece Denklem Çözümü 5 Mayıs 2019
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Karmaşık Sayılar - İkinci Derece Denklemlerde Köklerin Toplamı ve Çarpımı 4 Mayıs 2019

Sayfayı Paylaş