Çözüldü İntegral (7 Soru)

Konusu 'Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral' forumundadır ve Honore tarafından 16 Mayıs 2019 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    3.499
    Beğenileri:
    391
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    [​IMG]
    https://i.ibb.co/GpbXFVL/integraller.jpg
    https://scontent-amt2-1.xx.fbcdn.ne...=3ef2a73d6e6466f42972589f5e308028&oe=5D692947
    https://www.facebook.com/photo.php?fbid=1027354194125710&set=gm.1545989128871958&type=3&theater

    14 Numaralı Soru:
    x^2 + 4 = t....(I) ⇒ 2xdx = dt ⇒ dx = dt / (2x)

    ∫ { (x^5) / [ t^(1 / 5) ] }(dt / 2x) =

    (1 / 2) ∫ (x^4)dt / [ t^(1 / 5) ]....(II)

    (I) eşitliğinden x^2 = t - 4 ⇒ x^4 = (t^2 - 8t + 16)....(III)

    (III) ifadesi (II) integralindeki yerine konularak (1 / 2) ∫ (t^2 - 8t + 16) [ t^(-1 / 5) ] dt

    (1 / 2) ∫ [ t^(9/5) - 8t^(4/5) + 16t^(-1/5) ] dt =

    [ 5 / 252 ][ t^(4/5) ](9t^2 - 112t + 504) + C....(IV)

    (I) eşitliğinden x değişkenine geçilerek ve t^2 = x^4 + 8x^4 + 16 ile (IV) integrali tekrar yazılırsa (sadeleştirme işlemleri ilgilenen öğrencilere ödev);

    [ 5 / 252 ][ (x^2 + 4)^(4 / 5) ](9x^4 - 40x^2 + 200) + C

    WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate (x^5)dx/(x^2+4)^(1/5)
    ---
    16 Numaralı Soru:
    x + 7 = u....(I) ⇒ dx = du

    x = u - 7

    2x = 2u - 14

    2x + 1 = 2u - 13

    ∫ (2u - 13)du / (u^2) = ∫ (2 / u - 13 / u^2) du = 2ln(u) + 13 / u + C ve (I)'den geri dönüşümle;

    2ln(x + 7) + 13 / (x + 7) + C

    WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=∫ (2x+1)dx/(x + 7)^2 =

    Not: WA'nın verdiği ilk sonuç, pay 2log(x + 7) parantezine alınıp paydaya bölünürek yazılırsa aynısı bulunur.
    ---
    18 Numaralı Soru:
    Pay ve payda e^x ile çarpılırsa ∫ (e^x)dx / [ (e^x)√(e^x - 1) ] ve e^x - 1 = u^2....(I) dönüşümüyle;

    (e^x)dx = 2udu ve integralin yeni hali ∫ (2udu) / [ (u^2 + 1)u ] = 2∫ du / (u^2 + 1) = 2arctan(u) + c ve (I)'den u = √(e^x - 1) olup sonuç;

    2arctan[ √(e^x - 1) ] + C

    WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=∫ dx/sqrt(e^x-1)
    ---
    20 Numaralı Soru:
    1 - √w = u^2....(I) ⇒ √w = 1 - u^2 ⇒ dw / (2√w) = -2udu ⇒ dw = -4(1 - u^2)udu dönüşümüyle integral;

    -4∫ u[ (1 - u^2)^2 ]du / u = -4∫ [ (1 - u^2)^2 ] du = -4∫ (1 - 2u^2 + u^4)du = -4u + 8(u^3) / 3 - 4(u^5) / 5 + C ve (I)'den geriye gidilerek;

    -4[ (1 - √w)^0,5 ] + (8 / 3)[ (1 - √w)^1,5 ] - (4 / 5)[ (1 - √w)^2,5 ] + C....(II)
    (1 - √w)^0,5 = k ile (II) ifadesi de;

    -4k + (8 / 3)(k^3) - (4 / 5)(k^5) + C

    -4k(1 - 2k^2 / 3 + k^4 / 5) + C

    (-4k / 15)(15 - 10k^2 + 3k^4) + C

    (-4 / 15)[ (1 - √w)^0,5 ][ 15 - 10(1 - √w) + 3(1 - 2√w + w ] + C

    (-4 / 15)[ (1 - √w)^0,5 ](15 - 10 + 10√w + 3 - 6√w + 3w) + C

    (-4 / 15)[ (1 - √w)^0,5 ](8 + 4√w + 3w) + C

    (-4 / 15)[ (1 - √w)^0,5 ](3w + 4√w + 8) + C

    WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=∫ sqrt(w)dw / sqrt(1-sqrt(w))
    ---
    22 Numaralı Soru:
    √t içeri alınarak integral düzenlenirse ∫(t^2 + t) dt = ∫ [ (t + 1 / 2)^2 - 1 / 4 ] olup;

    t + 1 / 2 = (1 / 2)secθ....(I) ⇒ dt = (1/ 2)(secθ)(tanθ)dθ dönüşümyle yeni integral;

    (1 / 4)∫ (secθ)[ (tanθ)^2 ]dθ = (1 / 4)∫ [ (sinθ)^2 ]dθ / [ (cosθ)^3 ] = (1 / 4)∫[ (secθ)^3 ]dθ - (1 / 4)∫secθdθ gibi meşhur integrallere indirgenir ki bunların çözümleri örneğin;

    Birinci integral, https://www.cymath.com/answer?q=int(sec(x)^3,x) adresindeki gibi kısmi integrasyonla

    ikinci integral, http://math2.org/math/integrals/more/sec.htm

    adreslerinde gösterildiği gibi yapılarak (I)'e göre t değişkenine geçilip tam sonuç bulunur. Bu işlemler ilgilenen öğrencilere ödev, yapamayan lütfen söylesin. Bulunan sonuçların WolframAlpha ile kontrol edilmesi önemli hatırlatılır.
    ---
    24 Numaralı Soru:
    İntegral 8 / 6 ile çarpılıp bölünürse;

    (6 / 8)∫ (8 / 6)(6x - 1)dx / (4x^2 + 4x + 10) =

    (3 / 4)∫ (8x - 4 / 3)dx / (4x^2 + 4x + 10) =

    (3 / 4)∫ (8x + 4 - 4 - 4 / 3)dx / (4x^2 + 4x + 10) =

    (3 / 4)∫(8x + 4)dx / (4x^2 + 4x + 10) - 4∫ dx / [ (2x + 1)^2 + 9 ] şeklinde basitleşir ve;

    birinci integral için 4x^2 + 4x + 10 = u,

    ikinci integral için de 2x + 1 = 3tanθ değişken dönüşümü uygulanarak kolayca çözülür. Bu işlemler de ilgilenen öğrencilere ödev, yapamayan olursa lütfen haber versin. Bulunan sonuçların WolframAlpha ile veya türevi alınıp kontrolu tekrar önemli hatırlatılır.
    ---
    26 Numaralı Soru:
    -∫ (-4x + 3)dx / √(-x^2 + 10x + 11) = -2∫ (-2x + 3 / 2)dx / √(-x^2 + 10x + 11) = -2∫ (-2x + 10 - 10 + 3 / 2)dx / √(-x^2 + 10x + 11) =

    -2∫ (-2x + 10)dx / √(-x^2 + 10x + 11) + 17∫ dx / √[-(-11 - 10x + x^2) ] =

    -2∫ (-2x + 10)dx / √(-x^2 + 10x + 11) + 17∫ dx / √[ -(-11 - 25 + 25 - 10x + x^2) ] =

    -2∫ (-2x + 10)dx / √(-x^2 + 10x + 11) + 17∫ dx / √{ -[ -36 + (x - 5)^2 ] } =

    -2∫ (-2x + 10)dx / √(-x^2 + 10x + 11) + 17∫ dx / √[ 36 - (x - 5)^2 ] halinde basitleşir ve;

    Birinci integral için -x^2 + 10x + 11 = u,

    İkinci integral için de x - 5 = 6sinθ (veya cosθ) değişken dönüşümü yapılacak.

    Bu işlemleri yapıp çözümü tamamlamak da tabii ki yine ilgilenen öğrencilere ödev olarak kaldı. Sonuçlandıramayanlar lütfen haber versinler.

  2. Benzer Konular: İntegral Soru)
    Forum Başlık Tarih
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral İntegral (2 Soru) 31 Mayıs 2019
    Diğer Türev-İntegral-Kırık Faiz-Doğrunun Analitiği (7 Soru) 15 Ağustos 2018
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Katlı İntegral (2 Soru) 1 Haziran 2018
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Trigonometrik İntegral (YÖS Seviyesi, 2 Soru) 17 Mayıs 2018
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Belirli İntegral (Birkaç benzer soru) 5 Şubat 2018

Sayfayı Paylaş