Çözüldü İntegral - Türev - 3. Derece Denklem Çözümü

Konusu 'Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral' forumundadır ve Honore tarafından 15 Eylül 2018 18:10 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    2.522
    Beğenileri:
    351
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Johns Hopkins Universitesi'nden biraz zorlaştırılmış bir uyarlama:

    y = f(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2 eğrisiyle x ekseni üzerindeki en küçük pozitif eğimli teğeti arasında kalan kapalı bölgenin alanı kaç birim karedir?

    x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0 denkleminin köklerinden biri Rasyonel Kök Teoremi gereğince son terimin çarpanlarından ∓1 veya ∓2 olabilir.
    Gerçekten de f(-1) = f(1) = f(2) = 0 olduğundan y = f(x) = (x - 2)(x - 1)(x + 1)
    Teğetin x ekseniyle pozitif yönde yaptığı açının en küçük olabilmesi için en büyük apsisli x = 2 noktasındaki teğeti bulunmalıdır.
    Teğet denklemi y = mx + n ise m = f '(2) = 3(2)^2 - 4(2) - 1 = 12 - 9 = 3 olup y = 3x + n doğrusu A(2, 0) noktasından geçeceği için 0 = 3·2 + n ⇒ n = -6 ve teğet denklemi de
    y = g(x) = 3x - 6 olur.
    Teğetin y = f(x) eğrisini kestiği diğer noktanın apsisi x^3 - 2x^2 - x + 2 = 3x - 6 ⇒ h(x) = x^3 - 2x^2 - 4x + 8 = 0 denkleminden yine aynı teoreme göre ∓1, ∓2, ∓4, ∓8 arasından h(-2) = 0 olduğundan x = -2 bulunur.
    f(0) = 2 > 0 ve g(0) = -6 < 0 olduğundan kesim noktaları arasında f(x) eğrisi g(x) doğrusunun üzerindeki bölgede kaldığından;
    Aranan Alan = (Alt Sınır x = -2, Üst Sınır x = 2) ∫ h(x) dx
    Aranan Alan = (Alt Sınır x = -2, Üst Sınır x = 2) ∫ (x^3 - 2x^2 - 4x + 8)dx
    Aranan Alan = (Alt Sınır x = -2, Üst Sınır x = 2) |x^4 / 4 - 2x^3 / 3 - 2x^2 + 8x|
    Aranan Alan = 64 / 3 birim kare

    WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=area between y=x^3 - 2x^2 - x + 2 and y=3x-6 between -2 and 2

    Grafik:
    [​IMG]
    https://image.ibb.co/fonH6e/JHU_Integral_Grafik.png

    Sorunun aslı ve çözümü:
    [​IMG]
    https://image.ibb.co/dW6MXK/JHU_Original_Question.png
    http://www.math.jhu.edu/~bernstein/math108/Math108Midterm1_SOL.pdf
    (Sayfa 5, Soru 4.a)

  2. Benzer Konular: İntegral Türev
    Forum Başlık Tarih
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Türev - Teğet Eğimi - İntegral 29 Ağustos 2018
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Türev - İntegral - Doğrunun Analitiği 28 Ağustos 2018
    Diğer Türev-İntegral-Kırık Faiz-Doğrunun Analitiği (7 Soru) 15 Ağustos 2018
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral İntegral - Türev 12 Ağustos 2018
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral İntegral - Türev - Logaritma - Yüzde Problemi 31 Temmuz 2018

Sayfayı Paylaş