Çözüldü İntegral ve Geometrik Seri

University of Ottawa'dan çözümlü bir örnek:
(Başka bir sitenin arşivinden. Orijinal çözüme ait dosya üniversitenin sitesinden kaldırıldığından link verilemedi.)

Bazı ilaçlarda kullanılan zilinyum maddesinin metabolize edilerek insan vücudundan saatteki atılma oranı, kanda duran ve henüz boşaltımla bedenden çıkmamış zilinyum miktarının %5'ine eşit olduğuna göre süresiz bir dönem için kendisine her 24 saatte 1 gram zilinyum zerk edilen bir hastanın kanında bu maddeden kalıcı olarak kaç gram bulunur?
Cevap: [ e^(6 / 5) - 1 ]^(-1)

Önce herhangi bir gün (mesela Pazartesi sabahı saat 09.00'da) hastaya zilinyum verilmeye başlansın: Bedenden henüz atılmamış olan zilinyum miktarı Z ve atılma oranı da dZ / dt ise problemdeki bilgilere göre dZ / dt = 0,05Z eşitliği yazılarak dZ / Z = 0,05dt ve her iki tarafın integrali alınarak lnZ = 0,05t + C ⇒ Z = e^(0,05t + C) = (e^0,05t)·e^C ve Z0 bir katsayı (sabit bir sayı) olmak üzere Z0 = e^C yazılabileceğinden Z=Z0·e^0,05t (I) bulunur.

Tedavi başlangıcında (Pazartesi sabahı saat 09.00'da) Z0 = 1 gram ve t=24 saat alınarak ertesi gün (yani Salı) saat 09.00'da hastanın kanında Z = e^(-1,2) gram zilinyum olacağı görülür.

Tedaviye devam edilirse (I) numaralı asıl denklem gereğince bu sefer Z0 = 1 + e^(-1,2) gram olması gerektiğinden ve yine t = 24 saat sonra (yani Çarşamba sabahı saat 09.00'da) hastanın kanında Z = [ 1 + e^(-1,2) ]e^(-1,2) = e^(-1,2) + [ e^(-1,2) ]^2 gram zilinyum oluşur.

Süresiz olarak yapılan bir tedavide sonsuz terimli geometrik seri toplamı söz konusu olacağından Toplam zilinyum miktarı;

ZT = e^(-1,2) + [ e^(-1,2) ]^2 + [ e^(-1,2) ]^3 + ...

ZT = [ e^(-1,2) ]·{ 1 + e^(-1,2) + [ e^(-1,2) ]^2 + ... }

ZT = [ e^(-1,2) ]·[ 1 - e^(-1,2) ]^(-1) = [ e^(-1,2) ]·[ e^(-1,2) ]·[ e^(-1,2) - 1]^(-1)

ZT = [ e^(-1,2) - 1 ]^(-1) = [ e^(6 / 5) - 1 ]^(-1) gram bulunur.