Çözüldü Karede Alan

Konusu 'Analitik Geometri Ve Uzay Geometrisi' forumundadır ve Honore tarafından 12 Eylül 2018 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    2.644
    Beğenileri:
    354
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Analitik yolla veya daha kısa bir çözüm yapamadım;
    [​IMG]
    https://image.ibb.co/gjek29/Kare3.png
    https://www.facebook.com/photo.php?fbid=334172193429623&set=g.703383433087490&type=1&theater&ifg=1

    |CF| = √(3^2 + 1^2) = √10
    |BF| = √(10 - a^2)....(I)
    Karenin bir kenarı: a
    |DO| = √(9 - a^2) ⇒ |AO| = a - √(9 - a^2) ⇒ |AF| = { 1 - [ a - √(9 - a^2) ]^2 }^0,5 = [ 2a√(9 - a^2) - 8 ]^0,5....(II)
    |AF| + |BF| = a eşitliğinde (I) ve (II) ifadeleri yerlerine yazılırlarsa;
    [ 2a√(9 - a^2) - 8 ]^0,5 + √(10 - a^2) = a
    2a√(9 - a^2) - 8 = [ a - √(10 - a^2) ]^2
    2a√(9 - a^2) - 8 = a^2 - 2a√(10 - a^2) + 10 - a^2
    a√(9 - a^2) - 4 = 5 - a√(10 - a^2)
    √(9 - a^2) + √(10 - a^2) = 9 / a
    9 - a^2 + 2[ (9 - a^2)(10 - a^2) ]^0,5 + 10 - a^2 = 81 / a^2
    2a^4 - 19a^2 + 81 = (2a^2)·[ (9 - a^2)(10 - a^2) ]^0,5....(III)
    a^2 = t değişken dönüşümüyle (III) eşitliği
    2t^2 - 19t + 81 = 2t·[ (9 - t)(10 - t) ]^0,5 haline gelir ve
    (2t^2 - 19t + 81)^2 = (4t^2)(9 - t)(10 - t)
    [ 2t^2 - (19t - 81) ]^2 = (4t^2)(9 - t)(10 - t)
    4t^4 - 76t^3 + 685t^2 - 3078t + 6561 = 4t^4 - 76t^3 + 360t^2
    325t^2 - 3078t + 6561 = 0
    t = [ 1539 ∓ √(1539^2 - 325·6561) ] / 325
    t = (1539 ∓ 486) / 325
    t1 = 2025 / 325 = 81 / 25
    t2 = 2053 / 325 = 81 / 13 = a^2

  2. Benzer Konular: Karede
    Forum Başlık Tarih
    Matematik - Geometri Karedeki Üçgen Alanı 23 Haziran 2018
    Dörtgenler ve Çokgenler Karede Uzunluk 18 Haziran 2018
    Dörtgenler ve Çokgenler Karede Açı - Trigonometri - Dörtgende Alan 24 Mayıs 2018
    Matematik - Geometri Karede Uzunluk ve Alan 5 Nisan 2018
    İlginç ve Sıradışı Çözümler Beşgen ve Karede Açı 15 Mart 2017

  3. Bora.

    Bora. Matematik Öğretmeni Yönetici

    Mesajlar:
    70
    Beğenileri:
    55
    Benzerlikten çıkar gibi sayın hocam:)
    Müsait olunca yazayım
    Honore bunu beğendi.
  4. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    2.644
    Beğenileri:
    354
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Sağ olun sayın Bora Hocam, ben de bu arada biraz daha düşünmüştüm ve dediğiniz gibi benzerlikle sayıları biraz daha küçük bir denkleme giderek ancak şöyle yapabildim:

    Karenin kenar uzunluğu: a
    |AO| = x
    (Açı-Açı-Açı) nedeniyle ∆CDO ~ ∆AFO
    DCO = FOA ⇒ cos(DCO) = cos(FOA) ⇒ a / 3 = x / 1 ⇒ x = a / 3....(I) ⇒ |DO| = a - x = 2a / 3....(II)
    |AF| = √(1 - x^2) = √(1 - a^2 / 9) = (1 / 3)√(9 - a^2)....(III)
    |BF| = a - |AF| = a - (1 / 3)√(9 - a^2)....(IV)
    Alan(ABCD) = Alan(∆CDO) + Alan(∆CFO) + Alan(∆AFO) + Alan(∆BCF)....(V)
    (II), (III), (IV) ifadeleri (V) eşitliğinde sağ taraftaki yerlerine konarak;
    a^2 = a·(2a / 3) / 2 + 1·3 / 2 + (a / 3)(1 / 3)√(9 - a^2) / 2 + a[ a - (1 / 3)√(9 - a^2) ] / 2
    a^2 = 2a^2 / 6 + 3 / 2 + a√(9 - a^2) / 18 + a[ 3a - √(9 - a^2) ] / 6 olup sadeleştirilerek düzenlenirse (ara işlemler ilgilenen öğrenci üyelere ödev);
    2a√(9 - a^2) = 27 - 3a^2
    13a^4 - 198a^2 + 729 = 0
    a^2 = [ 99 ∓ √(99^2 - 13·729) ] / 13
    a^2 = (99 ∓ 18) / 13
    a^2 = 117 / 13 V a^2 = 81 / 13
    Bora. bunu beğendi.
  5. Bora.

    Bora. Matematik Öğretmeni Yönetici

    Mesajlar:
    70
    Beğenileri:
    55
    IMG_20180913_151759.jpg
    Honore bunu beğendi.
  6. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    2.644
    Beğenileri:
    354
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Zihninize sağlık sayın Bora üstadım, zaman ayırdığınız için eksik olmayın. Öğrenci üyeler adına da çok teşekkür ederim çünkü yine iliaç gibi bir çözüm yapmışsınız, selamlar, hürmetler. (Başlığın rengini yeşile döndürdüm)
    Bora. bunu beğendi.

Sayfayı Paylaş