Çözüldü Karmaşık Sayılarda Olasılık

Lehigh University Math Contest 2019 sorularından çözümlü bir örnek:
z karmaşık sayısı için z^2019 - 1 = 0 denkleminin rastgele seçilmiş iki kökü v ve w ise |v + w| ≥ (2 + √2)^0,5 olma olasılığı nedir?

Köklerden biri 1 olup diğerleri (2018 tane) birbirlerinin eşleniği olacağından w = 1 seçilerek incelenebilir.
v kökü ise k ∈ Z ve v = z = 1^(1 / 2019) = [ e^(i·k·2π) ]^(1 / 2019) = e^(i·k·2π / 2019) eşitliğinde 2019 = 2·1009 + 1 nedeniyle k = ∓1, ∓2, ..., ∓1009 değerlerini alabilir ve olası v kökleri v = cos(k·2π / 2019) + i·sin(k·2π / 2019)....(I) şeklinde yazılır.
|v + w| ≥ (2 + √2)^0,5 eşitliğinden |v + 1|^2 ≥ 2 + √2....(II)
(I) eşitliği (II)'deki yerine konularak;
|cos(k·2π / 2019) + i·sin(k·2π / 2019) + 1|^2 ≥ 2 + √2
|cos(k·2π / 2019) + 1 + i·sin(k·2π / 2019)|^2 ≥ 2 + √2
[ cos(k·2π / 2019) + 1 ]^2 + [ sin(k·2π / 2019) ]^2 ≥ 2 + √2
[ cos(k·2π / 2019) ]^2 + 2·[ cos(k·2π / 2019) ]·1 + 1^2 + [ sin(k·2π / 2019) ]^2 ≥ 2 + √2
[ cos(k·2π / 2019) ]^2 + [ sin(k·2π / 2019) ]^2 + 1 + 2·[ cos(k·2π / 2019) ] ≥ 2 + √2
1 + 1 + 2·[ cos(k·2π / 2019) ] ≥ 2 + √2
cos(k·2π / 2019) ≥ (√2) / 2
cos(k·2π / 2019) ≥ cos(π / 4) eşitsizliğinden |k·2π / 2019| ≤ π / 4 yazılır çünkü açı küçüldükçe kosinüs fonksiyonunda değeri 1'e yaklaşır.
O halde k ∈ Z olduğundan |k| ≤ 2019 / 8 = 252,375 eşitsizliğiyle |k| ≤ 252 bulunarak aranan olasılık 252 / 1009 olur.

Sorunun Aslı ve Çözümü:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/lehigh10.png
https://www.lehigh.edu/~dmd1/scan19.pdf
(Soru 36)