Çözüldü Lineer Diferansiyel Denklemler - Laplace Dönüşümleri (5 Soru)

Konusu 'Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları' forumundadır ve Samettt19 tarafından 19 Aralık 2017 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Samettt19

    Samettt19 Yeni Üye

    Mesajlar:
    4
    Beğenileri:
    1
    Cinsiyet:
    Bay
    Merhabalar,
    Aşağıdaki sorular laplace ile çözümünde yardımcı olabilir misiniz ?
    y'+5y= 4cos(-2t)-10sint(-2t), y(0)=5

    y'-4y=6e^t+8t+6, y(0)=-1

    y''-3y'=-9, y(0)=1, y'(0)=-3

    y''-4y'+4y=8sin(2t), u(0)=0, y'(0)=-6

    y''-6y'+13y= 58e^(-2t)-26, y(0)=0, y'(0)=-12

  2. Benzer Konular: Lineer Diferansiyel
    Forum Başlık Tarih
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Birinci Mertebeden ve Lineer Olmayan Diferansiyel Denklem 18 Aralık 2017
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları 2. Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler (5 Soru) 10 Aralık 2017
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları 4. Mertebeden Lineer ve Sabit Katsayılı İkinci Taraflı Diferansiyel Denklem 18 Mayıs 2017
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Birinci Mertebeden (First Order) Lineer Diferansiyel Denklemler 22 Aralık 2016
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları 2. Derece Sabit Katsayılı Lineer Diferansiyel Denklem 12 Aralık 2013

  3. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    2.102
    Beğenileri:
    306
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    SORU - 1
    y' + 5y = 4cos(-2t) - 10sin(-2t), y(0) = 5

    Sağ taraf y' + 5y = 4cos(2t) + 10sin(2t) olarak düzenlenip Laplace Dönüşümü uygulanırsa;

    ℒ(y' + 5y) = ℒ[ 4cos(2t) + 10sin(2t) ]

    s·Y(s) - y(0) + 5Y(s) = 4[ s / (s^2 + 4) ] + 10 [ 2 / (s^2 + 4) ] = (4s + 20) / (s^2 + 4)

    s·Y(s) - 5 + 5Y(s) = (4s + 20) / (s^2 + 4)

    (s + 5)·Y(s) = [ (4s + 20) / (s^2 + 4) ] + 5

    (s + 5)·Y(s) = (4s + 20 + 5s^2 + 20) / (s^2 + 4)

    Y(s) = (5s^2 + 4s + 40) / [ (s^2 + 4)·(s + 5) ] = (A·s + B) / (s^2 + 4) + C / (s + 5)....(I)

    5s^2 + 4s + 40 ≡ (A·s + B)·(s + 5) + C(s^2 + 4)

    5s^2 + 4s + 40 ≡ A·s^2 + 5A·s + B·s + 5B + C·s^2 + 4C

    5s^2 + 4s + 20 ≡ (A + C)·s^2 + (5A + B)·s + 5B + 4C

    A + C = 5....(II)

    5A + B = 4....(III)

    5B + 4C = 40....(IV)

    (II), (III), (IV) denklemlerinden A = 0, B = 4, C = 5 bulunur ve (I) ifadesi;

    Y(s) = 4 / (s^2 + 4) + 5 / (s + 5)

    Y(s) = 2[ 2 / (s^2 + 4) ] + 5 / (s + 5) olup Ters Laplace Dönüşümü ile;

    y(t) = 2sin(2t) + 5e^(-5t)

    y(t) = 5e^(-5t) + 2sin(2t) çözümü bulunur.

    WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=y' + 5y = 4cos(-2t) - 10sin(-2t), y(0)=5
    ---
    SORU - 2
    y'- 4y = 6e^t + 8t + 6, y(0) = -1

    ℒ(y' - 4y) = ℒ(6e^t + 8t + 6)

    s·Y(s) - y(0) - 4Y(s) = 6 / (s - 1) + 8 / s^2 + 6 / s

    (s - 4)·Y(s) + 1 = [ 6s^2 + 8(s - 1) + 6s(s - 1) ] / [ (s^2)·(s - 1) ]

    (s - 4)·Y(s) = { (12s^2 + 2s - 8) / [ (s^2)·(s - 1) ] } - 1

    (s - 4)·Y(s) = (12s^2 + 2s - 8 - s^3 + s^2) / [ (s^2)·(s - 1) ]

    (s - 4)·Y(s) = (-s^3 + 13s^2 + 2s - 8) / [ (s^2)·(s - 1) ]

    Y(s) = (-s^3 + 13s^2 + 2s - 8) / [ (s^2)·(s - 1)·(s - 4) ] ≡ A / s^2 + B / s + C / (s - 1) + D / (s - 4)....(I)

    -s^3 + 13s^2 + 2s - 8 ≡ A·(s - 1)·(s - 4) + B·s·(s - 1)·(s - 4) + C·(s^2)·(s - 4) + D·(s^2)·(s - 1)

    -s^3 + 13s^2 + 2s - 8 ≡ A·(s^2 - 5s + 4) + B·s·(s^2 - 5s + 4) + C·(s^3 - 4s^2) + D·(s^3 - s^2)

    -s^3 + 13s^2 + 2s - 8 ≡ (B + C + D)·s^3 + (A - 5B - 4C - D)·s^2 + (-5A + 4B)·s + 4A

    B + C + D = -1....(II)

    A - 5B - 4C - D = 13....(III)

    -5A + 4B = 2....(IV)

    4A = -8 ⇒ A = -2 değeri (II), (III), (IV) denklemlerinde kullanılırsa B = -2, C = -2, D = 3 bulunur ve (I) ifadesi

    Y(s) = -2 / s^2 - 2 / s - 2 / (s - 1) + 3 / (s - 4) olup Ters Laplace Dönüşümü uygulanarak;

    y(t) = -2t - 2 - 2e^t + 3e^4t

    y(t) = -2(t + 1) - 2e^t + 3e^4t çözümü bulunur.

    WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=y'- 4y = 6e^t + 8t + 6, y(0) = -1
    ---
    SORU - 3
    y''- 3y' = -9, y(0) = 1, y'(0) = -3

    ℒ(y''- 3y') = ℒ(-9)

    (s^2)·Y(s) - s·y(0) - y'(0) - 3[ s·Y(s) - y(0) ] = -9 / s

    (s^2)·Y(s) - s·1 + 3 - 3s·Y(s) + 3·1 = -9 / s

    (s^2 - 3s)·Y(s) - s + 6 = -9 / s

    s(s - 3)·Y(s) = s - (9 / s) - 6

    s(s - 3)·Y(s) = (s^2 - 6s - 9) / s

    Y(s) = (s^2 - 6s - 9) / [ (s^2)·(s - 3) ] ≡ A / s^2 + B / s + C / (s - 3)....(I)

    (Not: Yukarıdaki ifadede herhangi bir sadeleştirme yapılmamalıdır.)

    s^2 - 6s - 9 ≡ A(s - 3) + B·s·(s - 3) + C·s^2

    s^2 - 6s - 9 ≡ (B + C)·s^2 + (A - 3B)·s - 3A

    B + C = 1....(II)

    A - 3B = -6....(III)

    -3A = -9 ⇒ A = 3 değeri (II) ve (III) denklemlerinde kullanılırsa B = 3 ve C = -2 bulunur ve (I) ifadesi

    Y(s) = 3 / s^2 + 3 / s + C / (s - 3) olup Ters Laplace Dönüşümü alınarak;

    y(t) = 3t + 3 - 2e^(3t)

    y(t) = 3t - 2e^(3t) + 3 çözümü bulunur.

    WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=y''- 3y' = -9, y(0) = 1, y'(0) = -3
    ---
    SORU - 4
    y''- 4y' + 4y = 8sin(2t), y(0) = 0, y'(0) = -6

    ℒ(y''- 4y' + 4y) = ℒ[ 8sin(2t) ]

    (s^2)·Y(s) - s·y(0) - y'(0) - 4[ s·Y(s) - y(0) ] + 4Y(s) = 16 / (s^2 + 4)

    (s^2)·Y(s) - 0 + 6 - 4s·Y(s) + 0 + 4Y(s) = 16 / (s^2 + 4)

    [ (s - 2)^2 ]·Y(s) = 16 / (s^2 + 4) - 4

    [ (s - 2)^2 ]·Y(s) = (-6s^2 - 8) / (s^2 + 4)

    Y(s) = (-6s^2 - 8) / { (s^2 + 4)·[ (s - 2)^2 ] } ≡ (A·s + B) / (s^2 + 4) + C / (s - 2)^2 + D / (s - 2)....(I)

    -6s^2 - 8 ≡ (A·s + B)(s^2 - 4s + 4) + C·(s^2 + 4) + D·(s - 2)(s^2 + 4)

    -6s^2 - 8 ≡ (A + D)·s^3 + (-4A + B + C - 2D)·s^2 + (4A - 4B + 4D)·s + 4B + 4C - 8D

    A + D = 0....(II)

    -4A + B + C - 2D = -6....(III)

    4A - 4B + 4D = 0 ⇒ A - B + D = 0....(IV)

    4B + 4C - 8D = -8 ⇒ B + C - 2D = -2....(V)

    (II), (III), (IV), (V) eşitliklerinden A = 1, B = 0, C = -4, D = -1 bulunarak (I) ifadesi

    Y(s) = s / (s^2 + 4) - 4 / (s - 2)^2 - 1 / (s - 2)

    Y(s) = s / (s^2 + 4) - 4[ 1 / (s - 2)^2 ] - 1 / (s - 2) olup Ters Laplace Dönüşümü alınırsa;

    y(t) = cos(2t) - 4te^(2t) - e^2t

    y(t) = cos(2t) - (e^2t)·(4t + 1) çözümü bulunur.

    WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=y''- 4y' + 4y = 8sin(2t), y(0) = 0, y'(0) = -6
    ---
    SORU - 5
    y''- 6y' + 13y = 58e^(-2t) - 26, y(0) = 0, y'(0) = -12

    ℒ(y''- 6y' + 13y) = ℒ[ 58e^(-2t) - 26 ]

    (s^2)·Y(s) - s·y(0) - y'(0) - 6[ s·Y(s) - y(0) ] + 13Y(s) = 58 / (s + 2) - 26 / s

    (s^2)·Y(s) - s·0 + 12 - 6s·Y(s) + 6·0 + 13Y(s) = 58 / (s + 2) - 26 / s

    (s^2 - 6s + 13)Y(s) = 58 / (s + 2) - 26 / s

    Y(s) = [ 58s - 26(s + 2) - 12s(s + 2) ] / [ (s^2 - 6s + 13)·s·(s + 2) ]

    Y(s) = (-12s^2 + 8s - 52) / [ (s^2 - 6s + 13)·s·(s + 2) ] ≡ (A·s + B) / (s^2 - 6s + 13) + C / s + D / (s + 2)....(I)

    -12s^2 + 8s - 52 ≡ (A·s + B)(s^2 + 2s) + C·(s + 2)(s^2 - 6s + 13) + D·(s^3 - 6s^2 + 13s)

    -12s^2 + 8s - 52 ≡ (A + C + D)·s^3 + (B - 4C - 6D)·s^2 + (2A + 2B + C + 13D)·s + 26C

    A + C + D = 0....(II)

    B - 4C - 6D = -12....(III)

    2A + 2B + C + 13D = 8....(IV)

    26C = -52 ⇒ C = -2....(V)

    (V) değeri (II)'de yerine yazılırsa D = 2 - A....(VI) ve bu da (III)'de yazılırsa 6A + B = -8....(VII)

    (V) ve (VI) değerleri (IV)'te yerlerine konursa -11A + 2B = -16....(VIII)

    (VII) ve (VIII) çözülürse A = 0, D = 2, B = -8 bulunur.

    O halde (I) eşitliği Y(s) = -8 / [ (s - 3)^2 + 4 ] - 2 / s + 2 / (s + 2)

    Y(s) = -4·{ 2 / [ (s - 3)^2 + 4 ] } - 2 / s + 2 / (s + 2)

    Ters Laplace Dönüşümü ile;

    y(t) = -4(e^3t)sin(2t) - 2 + 2e^(-2t)

    y(t) = 2e^(-2t) - 4(e^3t)·sin(2t) - 2 bulunur.

    WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=y''- 6y' + 13y = 58e^(-2t) - 26, y(0) = 0, y'(0) = -12

Sayfayı Paylaş