Çözüldü Noktanın ve Doğrunun Analitiği - İkinci Derece Denklem - Karmaşık Sayılarda Modül ve Esas Argüman

Bir soru bankası kitabından fen lisesi için klasik sınav uyarlaması:

Karmaşık sayılar düzleminde -2 ve 2·i noktalarına uzaklıkları sırasıyla 2 ve 1 birim olan kompleks sayılardan modülü daha büyük olanın esas argümanı kaçtır?

Aranan karmaşık sayılar z = a + b·i ise;
|a + b·i - (0 + 2·i)| = 1 ⇒ |a + (b - 2)·i| = 1 ⇒ a^2 + b^2 - 4b + 3 = 0....(I)
|a + b·i - (-2 + 0·i)| = 2 ⇒ |a + 2 + b·i| = 2 ⇒ a^2 + b^2 + 4a = 0....(II)
(I) ve (II) taraf tarafa çıkarılıp düzenlenirse 4a + 4b = 3 olup z karmaşık sayılarının gerçel ve sanal kısımlarını koordinat alan noktalar
4x + 4y = 3 ⇒ y = -x + 3 / 4 doğrusu üzerindedir.
Şimdi bu doğru üzerinde olup (-2, 0) ve (0, 2) noktalarına uzaklıkları sırasıyla 2 ve 1 birim olan noktalar (p, q) ise p + q = 3 / 4
ve q = 3 / 4 - p....(III) olarak (p + 2)^2 + (3 / 4 - p - 0)^2 = 2^2 ifadesi düzenlenirse 2p^2 + 5p / 2 + 9 / 16 = 0 ikinci derece denklemi haline gelir ve çözüldüğünde p = (-5 ∓ √7) / 8 sayıları (III) eşitliğinde kullanılınca q = (11 ∓ √7) / 8 ve ∓ işaretleri eşleniklik nedeniyle zıt olur ve
p1 = (-5 + √7) / 8 ⇒ q1 = (11 - √7) / 8
p2 = (-5 - √7) / 8 ⇒ q2 = (11 + √7) / 8
Böylece eksenler üzerinde orijine uzaklık nedeniyle modülü daha büyük olan karmaşık sayı z = (-5 - √7) / 8 + [ (11 + √7) / 8 ]·i
Arg(z) = -arctan[ (11 + √7) / (5 + √7) ] = -arctan[ (8 - √7) / 2 ] ≈ -69,5°.

Kaynak: "LYS Matematik Soru Bankası", Limit Yayınları, Sayfa 217, Soru 4'ün biraz zorlaştırılmış şekli olup kitaptaki soru o şartı sağlayan kompleks sayının gerçel ve imajiner kısımlarının toplamının kaç olduğudur ve bu da yukarıdaki çözümde a + b = 3 / 4
bulunmuştur. Ayrıca görüleceği gibi p + q irrasyonel sayılarının toplamı da yine (-5 + 11) / 8 = 3 / 4'tür. (p, q) noktalarının (-2, 0) ve (0, 2) noktalarına uzaklıklarının problemdeki şartı da sağladığını görmek ilgilenen öğrencilere ödev.