Çözüldü Tam Diferansiyel Olmayan Denklemden I. Mertebe Lineer Denkleme Geçiş

(1 + x)(y') - 2y = (1 + x)^4 diferansiyel denkleminin genel çözümünü integral çarpanı yöntemiyle yapınız.

https://i.ibb.co/zQ3cRQP/Dif-Denklem2.png
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=273397920235294&set=gm.2048822488749876&type=3&theater&ifg=1

[ 2y + (1 + x)^4 ]dx - (1 + x)dy = 0
M = 2y + (1 + x)^4 ⇒ ∂M / ∂y = 2
N = -(1 + x) ⇒ ∂N / ∂x = -1
∂M / ∂y ≠ ∂N / ∂x nedeniyle "Tam Diferansiyel" değil.
İntegrasyon Çarpanı: µ(x) = [ (∂N / ∂x) - (∂M / ∂y) ] / (-N) = (-1 - 2) / [ -(1 + x) ] = -3 / (1 + x)
∂log[ µ(x) ] / ∂x = -3 / (1 + x)
∂log[ µ(x) ] = [ -3 / (1 + x) ]∂x
log[ µ(x) ] = -3log(1 + x) = log[ (1 + x)^(-3) ]
µ(x) = 1 / (1 + x)^3....(I)
Denklem (1 + x)dy - 2y = (1 + x)^4 haline getirilip tüm terimler (I) ile çarpılırsa;
[ 1 / (1 + x)^2 ]dy - 2y / [ (1 + x)^3 ] = 1 + x olur ve "I. Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklem" oluşacak şekilde düzenlenip;
dy / dx - [ 2 / (1 + x ]y = (1 + x)^3....(II) denkleminin çözümü için y = u·v....(III) değişken dönüşümüyle
dy / dx = u(dv / dx) + v(du / dx)....(IV)
(IV) ifadesi (II) denklemindeki yerine konulup çözüme uygun çarpanlara ayırma yapılarak;
u[ dv / dx - 2v / (1 + x) ] + v(du / dx) = (1 + x)^3....(V)
(V) denkleminin çözülebilmesi için dv / dx - 2v / (1 + x) = 0 şartıyla dv / (2v) = dx / (1 + x) ve iki tarafın integrali alınıp
v = (1 + x)^2....(VI) eşitliği (V) denklemini 0 + [ (1 + x)^2 ](du / dx) = (1 + x)^3 olarak değişkenlerine ayrılabilir formuna getirdiğinden;
du / dx = 1 + x ⇒ du = (1 + x)dx ve yine integral alınarak u = (x^2) / 2 + x + c....(VII)
(VI) ve (VII) eşitlikleri (III) ifadesindeki yerlerine konularak denklemin genel çözümü;
y = [ (x^2) / 2 + x + c ][ (1 + x)^2 ] olarak bulunur ve herhangi bir sınavda bu sonuç yeterlidir ama WolframAlpha da beğenecek şekilde düzenlenirse;
y = [ (x^2) / 2 + x + c ](x^2 + 2x + 1)
y = (x^4) / 2 + x^3 + (x^2) / 2 + x^3 + 2(x^2) + x + c[ (x + 1)^2 ]
y = c1(x + 1)^2 + (x^4) / 2 + 2(x^3) + 5(x^2) / 2 + x olur.

WolframAlpha Kontrolu:

https://i.ibb.co/t2cXK6W/Dif-Denklem2-WA.png
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(1+x)y'-2y=(1+x)^4