Çözüldü Tam Diferansiyel Olmayan Denklemden I. Mertebe Lineer Denkleme Geçiş

Konusu 'Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları' forumundadır ve Honore tarafından 14 Nisan 2019 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    3.451
    Beğenileri:
    379
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    (1 + x)(y') - 2y = (1 + x)^4 diferansiyel denkleminin genel çözümünü integral çarpanı yöntemiyle yapınız.

    https://i.ibb.co/zQ3cRQP/Dif-Denklem2.png
    https://scontent-cdg2-1.xx.fbcdn.ne...=46b678d43ac568eddc81d4ca95ebac1e&oe=5D2DF4B2
    https://www.facebook.com/photo.php?fbid=273397920235294&set=gm.2048822488749876&type=3&theater&ifg=1

    [ 2y + (1 + x)^4 ]dx - (1 + x)dy = 0

    M = 2y + (1 + x)^4 ⇒ ∂M / ∂y = 2

    N = -(1 + x) ⇒ ∂N / ∂x = -1

    ∂M / ∂y ≠ ∂N / ∂x nedeniyle "Tam Diferansiyel" değil.

    İntegrasyon Çarpanı: µ(x) = [ (∂N / ∂x) - (∂M / ∂y) ] / (-N) = (-1 - 2) / [ -(1 + x) ] = -3 / (1 + x)

    ∂log[ µ(x) ] / ∂x = -3 / (1 + x)

    ∂log[ µ(x) ] = [ -3 / (1 + x) ]∂x

    log[ µ(x) ] = -3log(1 + x) = log[ (1 + x)^(-3) ]

    µ(x) = 1 / (1 + x)^3....(I)

    Denklem (1 + x)dy - 2y = (1 + x)^4 haline getirilip tüm terimler (I) ile çarpılırsa;

    [ 1 / (1 + x)^2 ]dy - 2y / [ (1 + x)^3 ] = 1 + x olur ve "I. Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklem" oluşacak şekilde düzenlenip;

    dy / dx - [ 2 / (1 + x ]y = (1 + x)^3....(II) denkleminin çözümü için y = u·v....(III) değişken dönüşümüyle dy / dx = u(dv / dx) + v(du / dx)....(IV)

    (IV) ifadesi (II) denklemindeki yerine konulup çözüme uygun çarpanlara ayırma yapılarak;

    u[ dv / dx - 2v / (1 + x) ] + v(du / dx) = (1 + x)^3....(V)

    (V) denkleminin çözülebilmesi için dv / dx - 2v / (1 + x) = 0 şartıyla dv / (2v) = dx / (1 + x) ve iki tarafın integrali alınıp v = (1 + x)^2....(VI)

    (VI) eşitliği (V) denklemini 0 + [ (1 + x)^2 ](du / dx) = (1 + x)^3 olarak değişkenlerine ayrılabilir formuna getirdiğinden;

    du / dx = 1 + x ⇒ du = (1 + x)dx ve yine integral alınarak u = (x^2) / 2 + x + c....(VII)

    (VI) ve (VII) eşitlikleri (III) ifadesindeki yerlerine konularak denklemin genel çözümü;

    y = [ (x^2) / 2 + x + c ][ (1 + x)^2 ] olarak bulunur ve herhangi bir sınavda bu sonuç yeterlidir ama WolframAlpha da beğenecek şekilde düzenlenirse;

    y = [ (x^2) / 2 + x + c ](x^2 + 2x + 1)

    y = (x^4) / 2 + x^3 + (x^2) / 2 + x^3 + 2(x^2) + x + c[ (x + 1)^2 ]

    y = c1(x + 1)^2 + (x^4) / 2 + 2(x^3) + 5(x^2) / 2 + x olur.

    WolframAlpha Kontrolu:
    [​IMG]
    https://i.ibb.co/t2cXK6W/Dif-Denklem2-WA.png
    https://www.wolframalpha.com/input/?i=(1+x)y'-2y=(1+x)^4

  2. Benzer Konular: Diferansiyel Olmayan
    Forum Başlık Tarih
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Birinci Mertebeden ve Lineer Olmayan Diferansiyel Denklem 18 Aralık 2017
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Logaritmik Ters Fonksiyon Diferansiyelinin İntegrali (YKS 2020'de yok) 2 Temmuz 2019
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel Denklemler (2 Soru) 30 Haziran 2019
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Diferansiyel denklemler(5 kolay soru) yarına acil 22 Mayıs 2019
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral İntegral - Diferansiyel Denklem Uygulaması (Lise kapsamında bir çözüm yapamadım) 8 Nisan 2019

Sayfayı Paylaş