Çözüldü Ters Laplace Dönüşümü (3 Soru)

Konusu 'Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları' forumundadır ve Şennur tarafından 13 Ağustos 2020 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Şennur

    Şennur Üye

    Mesajlar:
    71
    Beğenileri:
    30
    Cinsiyet:
    Bayan
    Aşağıdaki diferansite denklemleri laplace yöntemiyle çözmeme yardımcı olur musunuz sonuca ulaşamadık bir türlü

    Ekli Dosyalar:


  2. Benzer Konular: Laplace Dönüşümü
    Forum Başlık Tarih
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Laplace Dönüşümünde (Düz veya Ters) Symbolab Kullanımı 24 Ağustos 2020
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Laplace Dönüşümünde Dirac Delta Fonksiyonu δ(t) 24 Ağustos 2020
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Ters Laplace Dönüşümünde Konvolüsyon Teoremi Kullanımı 21 Ağustos 2020
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Ters Laplace Dönüşümü (3 Soru) 21 Ağustos 2020
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Ters Laplace Dönüşümü (3 Soru) 21 Ağustos 2020

  3. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    4.845
    Beğenileri:
    602
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    3. a)
    ℒ^(-1) [ (s + 2) / (s^2 - 3s + 4) ] = ℒ^(-1) [ (s + 2) / (s^2 - 3s + 9 / 2 - 9 / 2 + 4) ] =
    ℒ^(-1) { (s + 2) / [ (s - 3 / 2)^2 + 7 / 4 ] } = ℒ^(-1) { (s + 2) / [ (s - 3 / 2)^2 + (√7 / 2)^2 ] } =
    ℒ^(-1) { (s + 2 - 3 / 2 + 3 / 2) / [ (s - 3 / 2)^2 + (√7 / 2)^2 ] } =
    ℒ^(-1) { (s - 3 / 2) / [ (s - 3 / 2)^2 + (√7 / 2)^2 ] } + ℒ^(-1) { (7 / 2) / [ (s - 3 / 2)^2 + (√7 / 2)^2 ] } =
    ℒ^(-1) { (s - 3 / 2) / [ (s - 3 / 2)^2 + (√7 / 2)^2 ] } + (7 / 2)·ℒ^(-1) { (√7 / 2)·(2 / √7) / [ (s - 3 / 2)^2 + (√7 / 2)^2 ] } =
    ℒ^(-1) { (s - 3 / 2) / [ (s - 3 / 2)^2 + (√7 / 2)^2 ] } + (7 / 2)·(2 / √7)·ℒ^(-1) { (√7 / 2) / [ (s - 3 / 2)^2 + (√7 / 2)^2 ] } =
    ℒ^(-1) { (s - 3 / 2) / [ (s - 3 / 2)^2 + (√7 / 2)^2 ] } + (√7)·ℒ^(-1) { (√7 / 2) / [ (s - 3 / 2)^2 + (√7 / 2)^2 ] } =
    [ e^(3t / 2) ]·cos[ √7(t) / 2 ] + (√7)·[ e^(3t / 2) ]·sin[ √7(t) / 2 ] =
    [ e^(3t / 2) ]·{ cos[ √7(t) / 2 ] + (√7)·sin[ √7(t) / 2 ] }

    Check by WolframAlpha:
    https://www.wolframalpha.com/input/?i=inverse laplace transform [ (s + 2) / (s^2 - 3s + 4) ]
    (1st result given under the "Alternate forms" section)
    ---
    3. b)
    Converting 1 / [ (s^2 + 1)(s^2 + 4s + 8) ] into partial rational fractions as (A, B, C, D ∈ R);
    1 / [ (s^2 + 1)(s^2 + 4s + 8) ] = (A·S + B) / (s^2 + 1) + (C·s + D) / (s^2 + 4s + 8)
    1 = (A + C)(s^3) + (4A + B + d)(s^2) + (8A + 4B + C)s + D
    A + C = 0
    4A + B + D = 0
    8A + 4B + C = 0
    D = 1
    Solving the first three equations using D = 1, other coefficients are found as A = -4 / 9, B = 7 / 9, C = 4 / 9.
    1 / [ (s^2 + 1)(s^2 + 4s + 8) ] = (-4s / 9 + 7 / 9) / (s^2 + 1) + (4s / 9 + 1) / (s^2 + 4s + 8) =
    (-1 / 65)·[ (4s - 7) / (s^2 + 1) - (4s + 9) / (s^2 + 4s + 8) ]
    Then, ℒ^(-1) { 1 / [ (s^2 + 1)(s^2 + 4s + 8) ] } =
    (-1 / 65)·ℒ^(-1) { (4s - 7) / (s^2 + 1) } - [ (4s + 9) / (s^2 + 4s + 8) ] } =
    (-1 / 65)·ℒ^(-1) [ 4s / (s^2 + 1) ] + (1 / 65)·ℒ^(-1) [ 7 / (s^2 + 1) ] - (4 / 65)·ℒ^(-1) { (s - 9 / 4) / (s^2 + 4s + 4 + 4) ] } =
    (-4 / 65)·cos(t) + (7 / 65)·sin(t) - (4 / 65)·ℒ^(-1) (s + 2 - 2 + 9 / 4) / { [ s - (-2) ]^2 + 4 } =
    (-4 / 65)·cos(t) + (7 / 65)·sin(t) - (4 / 65)·ℒ^(-1) [ s - (-2) ] / { [ s - (-2) ]^2 + 4 } - (4 / 65)·ℒ^(-1) (1 / 4) / { [ s - (-2) ]^2 + 4 } =
    (-4 / 65)·cos(t) + (7 / 65)·sin(t) - (4 / 65)·[ e^(-2t) ]·cos(2t) - (4 / 65)·ℒ^(-1) (1 / 4)·2·(1 / 2) / { [ s - (-2) ]^2 + 4 } =
    (-4 / 65)·cos(t) + (7 / 65)·sin(t) - (4 / 65)·[ e^(-2t) ]·cos(2t) - (1 / 65)·(1 / 2)·ℒ^(-1) 2 / { [ s - (-2) ]^2 + 4 } =
    (-4 / 65)·cos(t) + (7 / 65)·sin(t) - (4 / 65)·[ e^(-2t) ]·cos(2t) - (1 / 130)·[ e^(-2t) ]·sin(2t) =
    (1 / 130)·[ e^(-2t) ]·{ 14·[ e^(2t) ]·sin(t) + sin(2t) - 8·[ e^(2t) ]·cos(t) + 8·cos(2t) }

    Check by WolframAlpha:
    https://www.wolframalpha.com/input/?i=inverse laplace transform (1 / ((s^2+1)(s^2+4s+8)))
    (Last result given under the "Alternate form assuming t is real:" section)
    ---
    3. c
    (2s - 13) / [ s(s^2 - 4s + 13) ] ≡ A / s + (B·s + C) / (s^2 - 4s + 13)
    2s - 13 = A(s^2 - 4s + 13) + s·(B·s + C) and doing as shown in the solution 3.b;
    (2s - 13) / [ s(s^2 - 4s + 13) ] = -1 / s + (s - 2) / (s^2 - 4s + 13) =
    -1 / s + (s - 2) / (s^2 - 4s + 4 + 9) =
    -1 / s + (s - 2) / [ (s - 2)^2 + 9 ] and taking inverse Laplace transform;
    ℒ^(-1) { (2s - 13) / [ s(s^2 - 4s + 13) ] } =
    ℒ^(-1) (-1 / s) + ℒ^(-1) { (s - 2) / [ (s - 2)^2 + 9 ] } =
    -1 + [ e^(2t) ]·cos(3t) =
    [ e^(2t) ]·cos(3t) - 1

    Check by WolframAlpha:
    https://www.wolframalpha.com/input/?i=inverse laplace transform ( (2s - 13) / [ s(s^2 - 4s + 13) ] ) =
    (The 1st result under the "Alternate forms:" section)
    ---
    Soruların Yedeği: https://i.ibb.co/mbts8yp/inverse-laplace.jpg
    Şennur bunu beğendi.
  4. Şennur

    Şennur Üye

    Mesajlar:
    71
    Beğenileri:
    30
    Cinsiyet:
    Bayan
    Çok teşekkür ederim ellerinize sağlık zamanınızı aldık sizinde
    Honore bunu beğendi.
  5. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    4.845
    Beğenileri:
    602
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Rica ederim, lafı mı olur. İnşallah yararlı olmuştır. İyi çalışmalar, kolay gelsin.
    Not: Karışık görünen yerler varsa lütfen sorun.
    Şennur bunu beğendi.
  6. Şennur

    Şennur Üye

    Mesajlar:
    71
    Beğenileri:
    30
    Cinsiyet:
    Bayan
    Hayır heryerini anladım çok sağolun çalışır yine anlarım bu kadar yardım etmeniz bile yeter bana
    Honore bunu beğendi.

Sayfayı Paylaş