Çözüldü Türev - Parabol ve Çemberin Analitiği

Konusu 'Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral' forumundadır ve Honore tarafından 11 Eylül 2019 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    3.561
    Beğenileri:
    392
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Stanford Üniversitesi Matematik Turnuvası'ndan çözümlü bir sorunun biraz değiştirilip hafifçe zorlaştırılmış uyarlaması:

    y = ax^2 + 2,019x + 2,019 parabolüne iki noktada teğet ve merkezi de x ekseninde olan çemberin parabole değme noktalarından biri (0, 2,019) ise parabolün bu noktadaki normalinin eksenlerle arasındaki alanın, çemberin yarıçapının karesine oranı kaçtır?

    Parabol fonksiyonunun A(0, 2,019) noktasındaki türevinin negatif tersi o noktadaki normalin eğimidir (m_n).
    y ' = 2ax + 2,019....(I)
    m_n = -1 / (2a·0 + 2,019) = -1 / 2,019
    A noktasındaki normalin denklemi: y - 2,019 = (-1 / 2,019)(x - 0) ⇒ y = -x / 2,019 + 2,019....(II)
    (I) ifadesi sıfıra eşitlenerek parabolün asal ekseninin denklemi bulunur: 2ax + 2,019 = 0 ⇒ x = -2,019 / (2a)....(III)
    Parabolün asal ekseninin ve A noktasındaki normalinin x ekseni üzerindeki kesişimi çemberin merkezi de olan B noktasıdır çünkü teğet, normalin de üzerinde olduğu çember yarıçapına diktir.
    O halde (II) denkleminde y = 0 ve (III) değeri için 0 = -[ -2,019 / (2a) ] / 2,019 + 2,019
    -2,019 / [ (2a)·2,019 ] = 2,019
    -1 = (2a)·2,019
    -1 / 4,038 = a....(IV)
    (IV) değeri (III) eşitliğinde kullanılarak çemberin B merkezinin apsisi x = -2,019 / [ 2(-1 / 4,038) ] = 2,019^2 ve B(2,019^2, 0)....(V) olur.
    O orijin olmak üzere parabol normalinin eksenlerle arasında kalan AOB dik üçgeninin alanı = |AO|·|BO| / 2 = 2,019·(2,019^2) = 2,019^3....(VI)
    Çemberin r yarıçapı: r = |AB| = [ (0 - 2,019^2)^2 + (2,019 - 0)^2 ]^0,5 = (2,019^4 + 2,019^2)^0,5
    r^2 = 2,019^4 + 2,019^2 = (2,019^2)(2,019^2 + 1)....(VII)
    Aranan oran (VI) ve (VII) değerleri taraf tarafa bölünerek; (2,019^3) / [ (2,019^2)(2,019^2 + 1) ] = 2,019 / (2,019^2 + 1) bulunur.

    Ayrıntılı Grafik:
    [​IMG]
    https://i.ibb.co/WFqJ5sk/Stanford-Parabol-Circle-Graph.png

    WolframAlpha Grafiği:
    [​IMG]
    https://i.ibb.co/W2hLXZ2/Stanford-Parabol-Circle.png
    https://www.wolframalpha.com/input/?i=graph y=-x^2/4.038+2.019x+2.019, (x - 2.019^2)^2 + y^2 = 2.019^4+2.019^2, y=2.019x+2.019, y=-x/2.019+2.019,x=0,y=0

    Sorunun aslı ve çözümü:
    [​IMG]
    https://i.ibb.co/NmVG3dy/Stanford-Parabol-Circle-question-solution.png
    https://sumo.stanford.edu/pdfs/smt2019/calculus-solutions.pdf
    (Sayfa 1 - 2, Soru 5)

    Notlar:
    1. Sorunun aslındaki sayılar grafik çiziminde ayrıntıların rahat gösterilebilmesi için 1 / 1000 oranında küçültüldü.
    2. Çemberin denklemi: (x - 2,019^2)^2 + y^2 = 2,019^4 + 2,019^2
    3. WolframAlpha grafiğinin verilme sebebi, öğrencilerin benzer şekilde birden fazla fonksiyon içeren grafik çizimlerini o siteyi kullanarak nasıl yapabileceklerine ilişkin bir örnek olabilmesidir.

  2. Benzer Konular: Türev Parabol
    Forum Başlık Tarih
    Matematik - Geometri Parabol-Noktanın ve Doğrunun Analitiği-2. Derece Denklem-Yamuk Alanı-Türev 4 Eylül 2019
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Parabol - Türev - Analitik Geometri 9 Haziran 2019
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Türevin Geometrik Anlamı - Parabollerin Ortak Teğeti - Doğrunun Analitiği 9 Mayıs 2019
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral İntegral - Türev - Parabol - Üç Bilinmeyenli İkinci Derece Denklem Çözümü 5 Mayıs 2019
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Parabol - Türev - İkinci Derece Denklem Çözümü 15 Şubat 2019

Sayfayı Paylaş