Soru Üçgende Uzunluk

Konusu 'Geometrik Kavramlar,Açılar,Üçgende Uzunluk-Açı-Alan-Eşlik ve Benzerlik' forumundadır ve Honore tarafından 1 Kasım 2018 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    2.644
    Beğenileri:
    354
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    [​IMG]
    https://image.ibb.co/gQL9q0/ucgen14.png
    https://scontent-frt3-2.xx.fbcdn.ne...=0ba195282aee7016583f04e67c13d4ac&oe=5C7DE4C5
    https://www.facebook.com/photo.php?fbid=2184932101761567&set=gm.1392014180936121&type=3&theater

    Doğru yanıt olarak 12 işaretlenmiş ama 6 buluyorum ve bu sonuç "Açıortay Teoremi"ni, "Sinüs Teoremi"ni ve "Kosinüs Teoremi"ni sağlıyor. Yine de doğruysa bile kısa bir çözüm mutlaka vardır.
    |AC| = b
    |AB| = c
    |AN| = x
    |CD| = y
    BAN = NAC = θ
    EAB = CAD = β
    A noktasındaki bütünlerlik şartıyla 2(θ + β) = 180° ⇒ β = 90° - θ....(I)
    ΔABC için Açıortay Teoremi ile x = √(b·c - 2·3) = √(b·c - 6)....(II)
    (I) eşitliği nedeniyle NAD dik üçgen, [AN] ⊥ [AD] ve AND = 90° - 30° = 60° ⇒ ∡BNA = 180° - 60° = 120° olur.
    ΔACN için Sinüs Teoremi ile b / sin60° = 2 / sinθ ⇒ b = (√3) / sinθ....(III)
    ΔABN için Sinüs Teoremi ile c / sin120° = 3 / sinθ ⇒ c = (3√3) / (2sinθ)....(IV)
    (III) ve (IV) ifadeleri (II) eşitliğindeki yerlerine yazılıp sadeleştirilirse; x = { 9 / [ 2(sinθ)^2 ] - 6 }^0,5 ⇒ x^2 = 9 / { 2[ (sinθ)^2 ] - 6 }....(V)
    NAD dik üçgeninde sin30° = x / (2 + y) ⇒ y = 2x - 2....(VI)
    ΔACD için Sinüs Teoremi ile y / sinβ = b / sin30° yazılıp (I) eşitliği de kullanılarak düzenlenip sadeleştirilirse y = (2√3)·cotθ....(VII)
    (VI) ve (VII) ifadelerinin eşitliğinden cotθ = (x - 1) / √3 olup buna uygun dik üçgende Pisagor Teoremi ile hipotenüs √(x^2 - 2x + 4) ve;
    sinθ = [ 3 / (x^2 - 2x + 4) ]^0,5....(VIII) ⇒ (sinθ)^2 = 3 / (x^2 - 2x + 4)....(IX)
    cosθ = (x - 1) / √(x^2 - 2x + 4)....(X)
    (IX) ifadesi (V) eşitliğindeki yerine konarak sadeleştirilirse x^2 = 3(x^2 - 2x + 4) / 2 - 6
    x^2 = (3x^2 - 6x) / 2
    2x = 3x - 6
    x = 6 çıkıyor.
    ---
    Teoremlerin Kontrolu:
    x = 6 için (VIII) ve (X) eşitliklerinden sinθ = (1 / 2)√(3 / 7)....(XI) ve cosθ = 5 / (2√7)....(XII) olup (III) ve (IV) eşitliklerinden de;
    b = 2√7 cm....(XIII) ve c = 3√7 cm....(XIV) bulunur.
    BAC = 2θ ve cos2θ = 2[ cosθ ]^2 - 1 ifadesinde (XII) değeri yazılırsa cos2θ = 11 / 14....(XV)
    ΔABC için (XV) eşitliği de kullanılarak Kosinüs Teoremi yazılırsa;
    (3 + 2)^2 = (2√7)^2 + (3√7)^2 - 2·(2√7)·(3√7)·(11 / 14)
    25 = 28 + 63 - 4·7·33 / 14
    25 = 28 + 63 - 66
    25 = 28 - 3
    25 = 25 olarak sağlanıyor.
    (II) eşitliğine göre Açıortay Teoremi 6 = [ (2√7)·(3√7) - 6 ]^0,5 olup 6 = √36 = 6 olarak sağlanıyor.
    (III) eşitliğinde (XIII) ve (XI) değerleri kullanılırsa 2√7 = (√3) / [ (1 / 2)√(3 / 7) ] = 2√7 olarak Sinüs Teoremi sağlanıyor.
    (IV) eşitliğinde (XIV) ve (XI) değerleri kullanılırsa 3√7 = (3√3) / { 2[ (1 / 2)√(3 / 7) ] } = 3√7 olarak Sinüs Teoremi yine sağlanıyor.

  2. Benzer Konular: Üçgende Uzunluk
    Forum Başlık Tarih
    Geometrik Kavramlar,Açılar,Üçgende Uzunluk-Açı-Alan-Eşlik ve Benzerlik Üçgende Uzunluk 26 Ekim 2018
    Matematik - Geometri İkizkenar Dik Üçgende Uzunluk - Simetri 17 Ekim 2018
    Çemberde Açı-Uzunluk ve Dairenin Alanı Çemberde Kuvvet ve İkizkenar Üçgende Uzunluk 13 Ekim 2018
    Matematik - Geometri Çemberde Uzunluk - Üçgende Benzerlik - Sinüs Teoremi 30 Eylül 2018
    Matematik - Geometri Eşkenar Üçgende Uzunluk - Pisagor Teoremi 15 Eylül 2018

Sayfayı Paylaş