Çözüldü Yamukta Alan - Trigonometri

Konusu 'Dörtgenler ve Çokgenler' forumundadır ve Honore tarafından 13 Kasım 2018 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    2.726
    Beğenileri:
    354
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    [​IMG]
    https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/yamuk10.png
    https://scontent-vie1-1.xx.fbcdn.ne...=064c7c34c6a9dafcc50a665ae5c44467&oe=5C71B8DD
    https://www.facebook.com/photo.php?fbid=186567462280057&set=gm.2230074657227732&type=3&theater

    Daha kısa çözüm de olabilir, yapmak isteyen hayırseverlere şimdiden çok teşekkürler.

    DCA = 75°
    ACB = θ
    DAC = 180° - θ
    ADC = θ - 75°
    ABC = 105° - θ
    ΔACD için Sinüs Teoremi ile 10 / sin(180° - θ) = |AC| / sin(θ - 75°)....(I)
    ΔABC için Sinüs Teoremi ile 6 / sinθ = |AC| / sin(105° - θ)....(II)
    (I) ve (II) eşitlikleri taraf tarafa bölünüp sadeleştirilerek düzenlenirse 5sin(θ - 75°) = 3sin(θ + 75°) olup açılarak işlemler yapılırsa;
    θ = arctan[ 4tan(75°) ]....(III)
    sin(75°) = sin(45° + 30°) = (√6 + √2) / 4....(IV)
    cos(75°) = cos(45° + 30°) = (√6 - √2) / 4....(V)
    tan(75°) = sin(75°) / cos(75°) = (√6 + √2) / (√6 - √2) = 2 + √3....(VI)
    (VI) değeri (III) eşitliğine götürülerek θ = arctan(8 + 4√3)....(VII)
    (VII) eşitliğine uygun bir dik üçgen çizilerek Pisagor Teoremi ile;
    sinθ = (8 + 4√3) / √(113 + 64√3)....(VIII)
    cosθ = 1 / √(113 + 64√3)....(IX)
    (II) eşitliğinden |AC| = (6 / sinθ)·sin(θ + 75°)....(X)
    sin(θ + 75°) = (sinθ)·cos(75°) + (cosθ)·sin(75°)....(XI)
    (IV), (V), (VIII), (IX) değerleri (XI) eşitliğindeki yerlerine konulursa;
    sin(θ + 75°) = [ (8 + 4√3) / √(113 + 64√3) ]·[ (√6 - √2) / 4 ] + [ 1 / √(113 + 64√3) ]·[ (√6 + √2) / 4 ]
    sin(θ + 75°) = 5(√6 + √2) / [ 4√(113 + 64√3) ]....(XII)
    (ara işlemler ilgilenen öğrencilere ödev)
    WolframAlpha Kontrolu:
    http://www.wolframalpha.com/input/?... ] + [ 1 / √(113 + 64√3) ]·[ (√6 + √2) / 4 ]=
    ("Alternate forms" bölümündeki ilk sonuç)

    (VIII) ve (XII) değerleri (X) ifadesindeki yerine yazılarak;
    |AC| = { 6 / [ (8 + 4√3) / √(113 + 64√3) ] }·{ 5(√6 + √2) / [ 4√(113 + 64√3) ] } =
    |AC| = 15(√6 + √2) / [ 8(2 + √3) ]....(XIII)
    (ara işlemler ilgilenen öğrencilere ödev)
    WolframAlpha Kontrolu:
    http://www.wolframalpha.com/input/?...4√3) ] }·{ 5(√6 + √2) / [ 4√(113 + 64√3) ] }=

    C noktasından [AB] kenarına inilen dikmenin ayağı H olmak üzere yamuğun yüksekliği |AH| = h
    ACH dik üçgeninde sin(75°) = h / |AC| ⇒ h = |AC|·sin(75°)....(XIV)
    (XIII) ve (IV) değerleri (XIV) eşitliğinin sağ tarafındaki yerlerine konarak;
    h = { 15(√6 + √2) / [ 8(2 + √3) ] }·[ (√6 + √2) / 4 ] = 15 / 8
    (ara işlemler ilgilenen öğrencilere ödev)
    WolframAlpha Kontrolu:
    http://www.wolframalpha.com/input/?i={ 15(√6 + √2) / [ 8(2 + √3) ] }·[ (√6 + √2) / 4 ] =

    Alan(ABCD) = [ (10 + 6) / 2 ]·(15 / 8) = 15 birim^2

  2. Benzer Konular: Yamukta Trigonometri
    Forum Başlık Tarih
    Dörtgenler ve Çokgenler İkizkenar Yamukta Uzunluk 4 Mart 2018
    Matematik - Geometri Dik Yamukta Uzunluk 5 Şubat 2018
    Matematik - Geometri Dörtgende (Yamukta) Alan 29 Aralık 2016
    Dörtgenler ve Çokgenler Yamukta Alanlar Oranı 16 Ocak 2016
    Matematik - Geometri Dik Yamukta Uzunluk ve Alan 2 Ocak 2016

Sayfayı Paylaş