Çözüldü Diferansiyel Denklemler

r = dy / dt = y '(t) olmak üzere Karakteristik Denklem: r^2 - 1 = 0 ⇒ r = ∓1

C1, C2 ∈ R
Homojen (İkinci Tarafsız) Çözüm: yh(t) = C1·(e^t) + C2·[ e^(-t) ]....(I)

Sağ Taraflı Özel (Particular) Çözüm:
Sağ taraftaki ifadede olan e^(1·t) çarpanındaki 1 sayısı aynı zamanda karakteristik denklemin bir katlı kökü olduğundan;
a, b ∈ R
yp(t) = (e^t)·(t^1)·(a·t + b) = (e^t)·(a·t^2 + b·t)....(II) olup birinci ve ikinci türev fonksiyonları,
y '(t) = (e^t)·(a·t^2 + b·t) + (e^t)·(2a·t + b)
y ''(t) = (e^t)·(a·t^2 + b·t) + (e^t)·(2a·t + b) + (e^t)·(2a·t + b) + (e^t)·2a
y ''(t) = (e^t)·(a·t^2 + b·t) + 2·(e^t)·(2a·t + b) + 2a·(e^t)....(III)
(III) ve (II) eşitlikleri çözümü aranan denklemdeki yerlerine sırasıyla konulursa,
(e^t)·(a·t^2 + b·t) + 2·(e^t)·(2a·t + b) + 2a·(e^t) - (e^t)·(a·t^2 + b·t) = t·(e^t) ve sadeleştirilerek,
4a·t + 2a + 2b = t eşitliğinde Belirsiz Katsayılar Kuralı uygulanarak;
4a = 1 ⇒ a = 1 / 4....(IV)
2a + 2b = 0 ⇒ b = -a = -1 / 4....(V)
(IV) ve (V) katsayılarına göre (II) özel çözümü yp(t) = (e^t)·(t^2 / 4 - t / 4)....(VI)
(I) ve (VI) toplanarak genel çözüm:
y(t) = C1·(e^t) + C2·[ e^(-t) ] + (e^t)·(t^2 / 4 - t / 4).

WolframAlpha Kontrolu:

https://i.ibb.co/tbd9LSW/Dif-Denk-WA.png
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y''(t)-y(t)=t*e^t

Rica ederim, iyi çalışmalar.