Çözüldü Köklü Sayılar

Ilk 3 soru

Kalan soruları yapmaya şöyle çalıştım (kısa yolları veya hatalarımı inşallah yine sayın hocalarımız zamanları olursa gösterirler):

Üstten ikinci grup resimde soldaki 7 numaralı ilk soru:
İkinci eşitlikte her terim √(ab) ile bölünüp düzenlenirse √a = √b / [ (√b) - 1 ] ⇒ a = b / [ (√b) - 1 ]^2....(I)
b = 3 + 2√2 = (1 + √2)^2
√b = 1 + √2....(II)
(II) eşitliği, (I)'de yerine yazılırsa a = b / (√2)^2 = b / 2
---
Üstten ikinci grup resimde soldaki 1 numaralı soruyu okuyamadım ve büyütünce daha da bozuluyor.
---
Üstten ikinci grup resimde soldaki 2 numaralı soru:
Küpkök içi negatif olabileceğinden sadece karekök içindeki ifadeye bakılması gerekir:
2 - (x - 3)^(1 / 3) ≥ 0
2 ≥ (x - 3)^(1 / 3)
8 ≥ x - 3
11 ≥ x
O halde ilk 11 tane doğal sayı (1, 2, ..., 11) çözüm kümesidir.
---
Üstten ikinci grup resimde sağdaki 11 numaralı soru:
Eşitlikler taraf tarafa çıkarılırsa; a - b = √12 + √10 - 2√11 = √12 + √10 - 2·[ (12 + 10) / 2 ]^(1 / 2)
a - b = √12 + √10 - [ 2(12 + 10) ]^(1/2)
√c + √d < [ 2(c + d) ]^(1/2) olduğundan (bu eşitsizliğe ait bir teorem var mı bilmiyorum ama sayısal olarak daima geçerli görünüyor)
O halde; √12 + √10 - [ 2(12 + 10) ]^(1/2) < 0 olup a - b < 0 ⇒ a < b
---
Üstten ikinci grup resimde sağdaki 14 numaralı soru:
T = (x / y^2)^(1/3) + (y / x^2)^(1/3)
T^3 = [ (x / y^2)^(1 / 3) + (y / x^2)^(1/3) ]^3....(I)
A^3 + B^3 = (A + B)^3 + 3·[ (A^2)·B + A·(B^2) ] + B^3 özdeşliği (I) numaralı eşitliğin sağ tarafına uygulanırsa;
[ (x / y^2)^(1/3) + (y / x^2)^(1/3) ]^3 =
(x / y^2) + 3·{ [ (x^2 / y^4)·(y / x^2) ]^(1/3) + [ (x / y^2)·(y^2 / x^4) ]^(1/3) } + (y / x^2) => en sondaki terim, ikinci sıraya alınıp sadeleştirilirse;
(x / y^2) + (y / x^2) + 3[ (1 / y) + (1 / x) ] bulunup x ve y değerleri buradaki yerlerine yazılarak;
{ (√3 + √2) / [ (√3 - √2)^2 ] } + { (√3 - √2) / [ (√3 + √2)^2 ] } + 3·{ [ 1 / (√3 - √2) ] + [ 1 / (√3 + √2) ] } =
(√3 + √2)^3 + (√3 - √2)^3 + 3(√3 + √2 + √3 - √2) =
3√3 + 6√3 + 3√3 + 6√3 + 6√3 + 6√3 + 18√3 = 24√3 ve (I) numaralı eşitliğe geri dönülerek;
T^3 = 24√3 ⇒ T = (24√3)^(1/3) = [ 3·(2^3)·√3 ]^(1/3) = 2·(3·√3)^(1/3) = 2·{ [ (3^2)·3 ]^(1/2) }^(1/3)
T = 2·[ (3^3)^(1/6) ] = 2·[ 3^(1/2) ] = 2√3
---
Üstten ikinci grup resimde sağdaki 9 numaralı soru:
Eşitliğin her iki tarafının karesi alınırsa;
2 - √(2x) + 2[ (4 - 2x)^(1/2) ] + 2 + √(2x) = 5
4 + 2[ (4 - 2x)^(1/2) ] = 5
2[ (4 - 2x)^(1/2) ] = 1
Eşitliğin iki tarafının tekrar karesi alınırsa;
4(4 - 2x) = 1 ⇒ 15 = 8x ⇒ x = 15 / 8
---
Üstten üçüncü grup resimde soldaki 12 numaralı sorunun sonucunu 2,267... buluyorum:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=(sqrt(5)+sqrt(24))/(sqrt(2)+sqrt(3))

Kesrin paydası rasyonel yapılacak şekilde pay ve payda, paydanın eşleniği ile çarpılırsa;
(√5 + 2√6)(√3 - √2) / 1 =
√15 - √10 + 2√18 - 2√12 ≈ 2.2677...
https://www.wolframalpha.com/input/?i=√15 - √10 + 2√18 - 2√12
---
Üstten üçüncü grup resimde soldaki 5 numaralı soruyu logaritma ile yapabildim:
1 / (3^x) = (x^x)^3 şeklinde yazılarak 1 = [ (x^x)^3 ]·(3^x)
1 = [ (x^3)^x ]·(3^x)
1 = [ (x^3)·3 ]^x
1 = (3x^3)^x
log1 = x(log3 + 3logx)
0 = x(log3 + 3logx)
x ≠ 0 olmak üzere her iki taraf x ile bölünüp düzenlenirse;
log(x^3) = -log3 = log1 - log3 = log(1 / 3)
x^3 = 1 / 3
x = 1 / [3^(1/3)] sağ tarafın paydası rasyonel olacak şekilde pay ve payda 9^(1/3) ile çarpılırsa;
x = [ 9^(1/3) ] / { [ 9^(1/3) ]·[ 3^(1/3) ] }
x = [ 9^(1/3) ] / [ 27^(1/3) ]
x = [ 9^(1/3) ] / 3
---
Üstten üçüncü grup resimde soldaki 18 numaralı soru:
Bir test sınavında hemen beylik seçeneklerden olan 0 ve 1 denenebilir. Burada 0 yazılırsa;
2^(1/3) - [ (-1)^(1/3) ]·[ 2^(1/3) ] = 2[ 2^(1/3) ]
2^(1/3) - (-1)·[ 2^(1/3) ] = 2[ 2^(1/3) ]
2^(1/3) + 2^(1/3) = 2[ 2^(1/3) ]
2[ 2^(1/3) ] = 2[ 2^(1/3) ] eşitliği sağlandığından doğru şık x = 0'dır.

Cebirsel çözümü şöyle yapabildim:
x + 2 = A^3 ⇒ x = (A^3) - 2....(I) değişken dönüşümüyle;
A - (A^3 - 4)^(1/3) = 2[ 2^(1/3) ] = 16^(1/3)
A - 16^(1/3) = (A^3 - 4)^(1/3)
16^(1/3) - A = -(A^3 - 4)^(1/3)....(II)
Her iki tarafın kübü alınırsa;
A^3 - (3A^2)·[ 16^(1/3) ] + 3A·[ 256^(1/3) ] - 16 = A^3 - 4
3A·[ 256^(1/3) ] - (3A^2)·[ 16^(1/3) ] = 12
A·[ 256^(1/3) ] - (A^2)·[ 16^(1/3) ] = 4
A·[ 16^(1/3) ]·[16^(1/3) - A] = 4 bulunup (II) eşitliği burada yerine yazılırsa;
A·[ 16^(1/3) ]·[ -(A^3 - 4)^(1/3) ] = 4
A·[ 16^(1/3) ][ (A^3 - 4)^(1/3) ] = -4
Her tarafın kübü alınırsa;
(A^3)·16·(A^3 - 4) = -64
A^3(A^3 - 4) = -4
A^6 - 4A^3 + 4 = 0 ve A^3 = t değişken dönüşümüyle t^2 - 4t + 4 = 0 ⇒ (t - 2)^2 = 0 ⇒ t = 2
A^3 = t = 2 ve (I) eşitliği ile de x = 2 - 2 = 0
---
Üstten üçüncü grup resimde sağdaki 20 numaralı soru:
Sayın Recep Yücesan Hoca'nın "Meraklısına Matematik" isimli kitabında gösterdiği yoldan gidilirse;
a = (7 - 5√2)^(1/3)
b = (7 + 5√2)^(1/3)
x = a + b ve her iki tarafın kübü alınıp sağ tarafta ilgili özdeşlik kullanılırsa;
x^3 = a^3 + b^3 + 3·a·b·(a + b)
x^3 = 7 - 5√2 + 7 + 5√2 + 3·[ (49 - 50)^(1/3) ]·x
x^3 = 14 - 3x
x^3 + 3x + 14 = 0
Rasyonel Kök Teoremi gereğince son terimin çarpanlarına bakılırsa -2'nin köklerden biri olduğu görülür:
(-2)^3 + 3(-2) + 14 = -8 - 6 + 14 = 0
Buna göre x = a + b = (7 - 5√2)^(1/3) + (7 + 5√2)^(1/3) = 2 bulunur.
---
Üstten üçüncü grup resimde sağdaki 19 numaralı sorunun cevabını ancak böyle yapabildim, inşallah bir kısa çözüm gelirse ben de öğrenirim:
√x + (1 / √x) = x - 3 eşitliğinde her iki tarafın karesi alınırsa;
x + 2 + (1/x) = (x - 3)^2
x + (1/x) = (x - 3)^2 - 2....(I)
√x - (1 / √x) = A yazılıp iki tarafın karesi alınırsa
x - 2 + (1/x) = A^2....(II)
x + (1/x) = A^2 + 2....(III)
(I) eşitliği (III)'de yerine yazılırsa;
(x - 3)^2 - 2 = A^2 + 2
(x - 3)^2 - 4 = A^2....(IV)
A^2 = (x - 3 + 2)(x - 3 - 2)
A^2 = (x - 1)(x - 5) = x^2 - 6x + 5 ve (II) eşitliği burada yerine yazılırsa;
x + (1/x) - 2 = x^2 - 6x + 5 eşitliği düzenlenirse;
(x^2 + 1 - 2x) / x = x^2 - 6x + 5
x^2 + 1 - 2x = x^3 - 6x^2 + 5x
x^3 - 7x^2 + 7x - 1 = 0
x^3 - 1 - 7x(x - 1) = 0
(x - 1)(x^2 + x + 1) - 7x(x - 1) = 0
(x - 1)(x^2 + x + 1 - 7x) = 0
(x - 1)(x^2 - 6x + 1) = 0
Birinci terimin sıfıra eşitlenmesiyle x = 1 bulunur ama problemdeki eşitliği sağlamıyor.
İkinci terim (x - 3)^2 - 4 = 4 şeklinde yazılıp (IV) numaralı eşitliğe gidilirse;
A^2 = 4 ⇒ A = √x - (1 / √x) = ∓ 2 ve √x - (1 / √x) = 2 bulunur.
---
Üstten üçüncü grup resimde sağdaki 4 numaralı soru:
Verilen ifade √2 + 1 ile çarpılıp bölünürse;
(√2 + 1)^(1/2) / (√2 + 1) =
(√2 + 1)^(1/2) / [ (√2 + 1)^2 ]^(1/2) =
1 / (√2 + 1)^(1/2) ve payda tekrar rasyonel yapılmak üzere (√2 - 1)^(1/2) ile çarpılıp bölünürse;
(√2 - 1)^(1/2) / [ (2 - 1)^(1/2) ] = (√2 - 1)^(1/2) olarak D seçeneği çıkıyor.
---
En sondaki 5 numaralı soru:
a^(1 + 2 + 3 + ... + k) / 3^[ (k + 1) / 2] =
a^[ k(k + 1) / 2 ] / 3^[ (k + 1) / 2] =
(a^k)^[ (k + 1) / 2 ] / 3^[ (k + 1) / 2]....(I)
Problemde verilen a = 3^(1 / k) eşitliğinde her iki tarafın k. derecedene kökü alınırsa a^k = 3 bulunup bu değer (I) numaralı eşitlikte kullanılırsa
3^[ (k + 1) / 2 ] / 3^[ (k + 1) / 2] = 1 bulunur.
---
Sayın Cem Hocam'a aşağıdaki yardımları için çok çok teşekkür ederim.

(3^(-1))^x=(x^3)^x... Ve üsler eşitse tabanlar eşittir mantığıyla; 3^-1=x^3 ve x=(1/3)^(1/3)=3^(2/3)/3=9^(1/3)/3