Çözüldü Trigonometrik İşlem - Özdeşlikler

Başka bir siteden çözümlü örnek: cos(2π / 11) + cos(4π / 11) + cos(6π / 11) + cos(8π / 11) + cos(10π / 11) = ?

11a = π

cos2a + cos4a + cos6a + cos8a + cos10a = (cos2a + cos8a) + (cos4a + cos6a) + cos10a =

2cos5a·cos3a + 2cos5a·cosa + cos10a = 2cos5a(cos3a + cosa) + cos10a =

2cos5a·2cos2a·cosa + cos10a = (2cos5a·2cos2a·cosa·sina / sina) + cos10a =

(cos5a·2cos2a·sin2a / sina) + cos10a = (cos5a·sin4a / sina) + cos10a…(I)

cos10a = cos(11a – a) = cos(11π/11 – a) = cos(π – a) = -cosa değeri, (I) eşitliğinde yerine yazılırsa;

(cos5a·sin4a / sina) + cos10a = (cos5a·sin4a / sina) – cosa = (cos5a·sin4a – cosa·sina) / sina =

[ (1 / 2)(sin9a – sina) – (1 / 2)sin2a ] / sina = [ (1 / 2)sin9a – (1 / 2)sina – (1 / 2)sin2a ] / sina….(II)

sin9a = sin(11a – 2a) = sin(π – 2a) = sin2a değeri, (II) eşitliğinde yerine yazılırsa;

[ (1 / 2)sin9a –(1 / 2)sina – (1 / 2)sin2a ] / sina = [ (1 / 2)sin2a – (1 / 2)sina – (1 / 2)sin2a ] / sina = -1 / 2