Çözüldü Permütasyon - Kombinasyon (6 Soru)

Bir soru:
a,b,c,d,A,B,C,D,E,F harfleri ile on basamaklı şifre oluşturulacaktır. Fakat her şifrede büyük harfler sağdan sola alfabetik sıradadır. Buna göre kaç farklı şifre oluşturulabilir?
(Meselâ; herhangi bir sifre FEbDcdCBaA şeklinde olabilir.)

A) 3!.C(11,4) B) 3!.C(10,4) C) P(10,4) D) P(10,6) E) 11!/7!

Hep ÖSYM mi şifre oluşturacak, biz de oluşturalım bakalım biraz.

Tebrikler. Üst dilden bir çözüm verelim. Bu çözüme fantastik veya artistik olarak da niteleyebiliriz. Eğer iyice anlaşılırsa, kişiye çok şey kazandırabilir:

_F_E_D_C_B_A_ şeklinde büyük harfler 1 şekilde yerleşir veya sıralanır. Yâni büyük harflerin hiçbir fonksiyonu yok, 7 tane boşluk meydana getirmenin dışında. Demek ki, aslında on tane nesne-şey sıralanmıyor, dört tane (a, b, c, d) sıralanıyor. Murat_16 kardeşimiz bu noktayı çarpıcı bir biçimde yakalamış.

Sonra; a, b, c ve d'yi özdeş kabul edelim. "Tekrarlı Kombinasyon" gereği, 7 yer x, y, z, t, q, w, u ile gösterilmek üzere x+y+z+t+q+w+u=4 denkleminin doğal sayılardaki (x, y, z, t, q, w, u) yedililerinin sayısı isteniyor. Meselâ; (0, 0, 0, 0, 2, 1, 1) veya (0, 0, 0, 1, 1, 1, 1) v.s. gibi...
Bu denklemin çözümü,
C(7+4-1,4)=C(7+4-1,7-1) ---> C(10,4)=C(10,6) 'dır.

Bu işlem (özdeş kabul etmek) ile a, b, c ve d'yi, bu yedi boş yere 0,1,2,3 ve 4'lü bir biçimde yan yana yaymış olduk. Artık bunları farklı kabul ederek (zaten farklı idi) yerlerini değiştirmek kalıyor, o da 4!'dir:

C(10, 4)·4! = 10·9·8·7 = 10! / 6! = P(10, 4) elde edilir.

İktibastırlar:

1) 12 özdeş pul 4 farklı mektuba yapıştırılacaktır. Her mektupta en az 2 şer pul olacak biçimde kaç farklı biçimde yapıştırılabilir?

2) 3 özdeş top 7 farklı kutuya kaç farklı şekilde atılabilir?

3) Özdeş 4 oyuncak 8 çocuğa dağıtılacaktır. Her çocuğa en çok bir oyuncak vermek şartıyla oyuncaklar çocuklara kaç farklı şekilde dağıtılabilir?

4) 6 farklı pul 4 farklı mektuba her mektupta en az 1 pul olacak şekilde yapıştırılacaktır. Bu işlem kaç farklı biçimde yapılır?

Çözümler:
1.)
1. yol:
x1+x2+x3+x4=12 için x1, x2, x3, x4 > 1 olacağından pozitif a, b, c, d tam sayıları için a+1=x1, b+1=x2, c+1=x3 ve d+1=x4 olmak üzere denklem,
a+b+c+d=12-4=8 olur. "Tekrarlı kombinasyon" gereği (Z^+)'daki çözüm sayısı cevabımız olacaktır: C(8-1,4-1)=C(7,3)=35

2. yol:
2226 ---> 4!/3!=4
2235 ---> 4!/2!=12
2244 ---> 4!/2!.2!=6
2334 ---> 4!/2!=12
3333 ---> 4!/4!=1 --> 4+12+6+12+1=35 yine bulunur.

2.)
x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=3 ---> sıfırlı çözüm sayısı C(3+7-1,3)=C(9,3)=84

3.)
00001111 --> 8!/(4!·4!)=70

4.)
1113 --> C(6,1)·C(5,1)·C(4,1)·C(3,1)·4!/3!=6·5·4·4=24·20=480
1122 --> C(6,1)·C(5,1)·C(4,2)·C(2,2)·4!/(2!·2!)=6·5·6·6=30·36=980 --> 480+980=1460 bulunur. (Dikkat: Örten fonksiyon, f:S(6)--->S(4) sayısıdır aynı zamanda bu!)