Çözüldü Polinomda Bölme ve Kalan - Türev

Merhaba polinomlarla ilgili bir sorum var. Aslında bir özellik ispatı istiyorum. Ezber yerine neyin neden olduğunu anlayınca unutma ihtimalim 0'a düşüyor. Özellik şöyle bişey bir şey:
P(x) polinomu Q(x)^n 'e tam bölünebiliyorsa,
P(x) polinomu Q(x) polinomuyla tam bölünür,
P'(x) polinomu Q(x) polinomuyla tam bölünür.
P''(x) polinomu Q(x) polinomuyla tam bölünür.
...
P^(n) (x) polinomu Q(x) polinomuyla tam bölünür.

Yani derece[ Q(x) ] = 3 ise P(x), P'(x), P''(x) polinomları tam bölünür.
Neden türevide türevi de tam olarak bölünüyor anlatabilir misiniz?

P(x), Q(x)^n polinomuna tam bölünebiliyorsa;
P(x) = Q(x)^n · R(x) olmak zorundadır.

P '(x) = n·Q(x)·[ Q(x)^(n - 1) ]·R(x) + Q(x)^n · R'(x)

Buraya dikkat edersen, her türev aldığımızda soldaki Q(x)^(n - türev sayısı) şeklinde olacak ve üssü en az olan Q(x) polinomunun üssü
(n - türevsayısı) olacak.
Diğer Q(x) polinomlarının üsleri de her zaman ondan büyük olmak zorunda. Çünkü Q(x)^n gibi bir polinomun türevi alındığında her türev alışında üs ancak 1 azaltılabilir.

Yani n - 1 kere türev alındığında bütün çarpanlarda Q(x) olmak, üsleri de 1 veya 1'den büyük olmak zorunda.

Dolayısıyla, P(x) polinomunun n - 1 kere türevi alınınca kesin olarak Q(x) polinomuna bölünür. Ancak n. türevinde bir terimden Q(x) kaybolur yani n. türevde bölünme garantisi yoktur.