Çözüldü Kompleks Sayılar - Trigonometri (2 Soru)

Bir soru:

ise kaçtır?


A) -6
B) -10
C) -12
D) -16
E) -18

Evet...

x + (1 / x) = t ise x^6 + (1 / x)^6 = t^6 - 6t^4 + 9t^2 - 2 idi. t = i için -18 bulunur.

Başka, iktibas:

n bir tam sayı olmak üzere z = cos(a) + i·sin(a) karmaşık sayısı için z^n - z^(-n) = ?

A) 2i·sin(n·a)
B) 2·sin(n·a)
C) 2i·cos(2n·a)
D) 2i·sin(2n·a)
E) 2·cos(n·a)

Sayın Cem Hocam, 1. soruyu karmaşık sayılar ve trigonometri ile şöyle yapmaya çalıştım:
z = cos(θ) + i·sin(θ) = e^(i·θ)....(I)
z + 1 / z = cis(90°) = i
z + z^(-1) = cos(θ) + i·sin(θ) + cos(-θ) + i·sin(-θ) = 2cos(θ) = i ⇒ cos(θ) = i / 2....(II)
(I) eşitliğinden z^6 = e^(i·6θ) ve 1 / z^6 = e^(-i·6θ) olup taraf tarafa toplanırsa z^6 + 1 / z^6 = e^(i·6θ) + e^(-i·6θ) = 2cos(6θ)....(III)
(III) ifadesindeki cos6θ düzenlenirse;
cos6θ = cos(2θ + 4θ) = cos2θ·cos4θ - sin2θ·sin4θ = cos2θ·[ 2(cos2θ)^2 - 1 ] - 2cos2θ·(sin2θ)^2 =
cos2θ·[ 2(cos2θ)^2 - 1 ] - 2cos2θ·[ 1 - (cos2θ)^2 ]
cos6θ = cos2θ·[ 2(cos2θ)^2 - 1 - 2 + 2(cos2θ)^2 ] = 4(cos2θ)^3 - 3cos2θ = cos2θ·[ 4(cos2θ)^2 - 3 ]....(IV)
cos(2x) = 2(cosx)^2 - 1 özdeşliği kullanılarak (II) eşitliğinden cos(2θ) = 2(i / 2)^2 - 1 = -3 / 2....(V)
(V) değeri, (IV) eşitliğinde yerine yazılırsa;
cos(6θ) = (-3 / 2)·[ 4(-3/ 2)^2 - 3 ] = (-3 / 2)(6) = -9....(VI)
(VI) değeri, (III)'de yerine konursa z^6 + 1 / z^6 = 2(-9) = -18

Not: İşlem satırı çok uzadığından bazı yerlerde trigonometrik fonksiyonların argümanları parantez içinde gösterilemedi.
---
İkinci Soru:
z^n = e^(i·na) = cos(na) + i·sin(na)
z^(-n) = e^(-i·na) = cos(-na) + ·sin(-na)
taraf tarafa çıkarılırsa;
z^n - 1 / z^n = 2i·sin(na)