Çözüldü Homojen Diferansiyel Denklem

Konusu 'Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları' forumundadır ve virs tarafından 27 Ekim 2012 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. virs

    virs Yeni Üye

    Mesajlar:
    99
    Beğenileri:
    2
    [​IMG] homojen diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz.
    virs, 27 Ekim 2012
    #1

    2. Benzer Konular: Homojen Diferansiyel
    Forum Başlık Tarih
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Tam Diferansiyel Denklemden Homojen Tipe Geçiş 1 Temmuz 2024
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları 2. Derece Lineer Olmayan Homojen Diferansiyel Denklemden Değişkenlerine Ayrılabilir Tipe Dönüşüm 29 Kasım 2023
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Homojen Tip Diferansiyel Denklem 1 Ekim 2022
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Homojen Diferansiyel Denklem - Çarpanlara Ayırma - Logaritmalı Trigonometrik Denklem 27 Mart 2022
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Tam Diferansiyel Denklemin Homojen Tip Çözümü 22 Eylül 2021

  2. Cem

    Cem Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    3.385
    Beğenileri:
    1.354
    y=ux kullan çıkacaktır.

    dy=udx+xdu veya dy/dx=u+x.du/dx ---> dy/dx=(udx+xdu)/dx ---> dy=udx+xdu
    Cem, 30 Ekim 2012
    #2
    Honore bunu beğendi.
  3. virs

    virs Yeni Üye

    Mesajlar:
    99
    Beğenileri:
    2
    y=ux kullanınca integralini alamadığım [​IMG] ifadesinde tıkandım, kısmi integrasyonda da başarısız olunca
    x=uy kullanarak [​IMG] sonucuna ulaştım. Müsait olunca yazarım çözümü.
    virs, 30 Ekim 2012
    #3
  4. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    11.442
    Beğenileri:
    652
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Evet bu denklem için küçük bir değişiklikle x = u·y (veya x / y = u) dönüşümü kolayca çözümü verir.
    x = u·y ⇒ dx = u·dy + y·du eşitlikleri [ e^(x / y) ]·(1 - x / y)·dy + [ 1 + e^(x / y) ]·dx denklemde yerlerine yazılırsa;
    [ (e^u) ](1 - u)·dy + (1 + e^u)·(u·dy + y·du) = 0
    [ (e^u) ]·dy - u·[ (e^u) ]·dy + u·dy + y·du + u·[ (e^u) ]·dy + y·[ (e^u) ]·du = 0
    (e^u + u)·dy + y(1 + e^u)du = 0
    dy / y + [ (e^u + 1) / (e^u + u) ]·du = 0
    ln(y) + ln(e^u + u) = ln(c)
    ln[ y(e^u + u) ] = ln(c)
    y(e^u + u) = c
    y[ e^(x / y) + x / y ] = c
    y·e^(x / y) + x = c
    ---
    WolframAlpha gereksiz bir fantezi sonuç verdiğinden klasik yoldan diferansiyel alınarak yapılan kontrol:

    dy·[ e^(x / y) ] + y·[ (y·dx - x·dy) / (y^2) ]·[ e^(x / y) ] + dx = 0
    y·dy·[ e^(x / y) ] + y·dx·[ e^(x / y) ] - x·[ e^(x / y) ]·dy + y·dx = 0
    [ e^(x / y) ]·(y - x)·dy + y·[ 1 + e^(x / y) ] dx = 0 olarak çözümü istenen diferansiyel denklem bulunur.
    Honore, 5 Ocak 2017
    #4

Sayfayı Paylaş