Çözüldü Çemberin Analitiği ve Geometrik Yer (13 Soru)

1:
x^2+(y+b)^2=r^2 ve b=r olacağından 64+16^2-32r=0 ⇒ 64+16.16=16.2r ⇒ 4+16=2r=20 ⇒ r=10 bulunur.

2:
A ve B'yi yerine koyduktan sonra (-3-a)^2+(-6-b)^2=(5-a)^2+(10-b)^2 ⇒ a+2b=5 elde edilir. M(a,b) merkezi doğru denklemini de sağlayacağından, ikisinin ortak çözümü,
a+2b=5
2a+b=-2 ⇒ a=-3 ve b=4 bulunur. Herhangi bir noktasından aradaki uzaklık gereği r'yi bulursak,
r^2 = (-3-(-3))^2+(4-(-6))^2 = 10^2; demek ki denklem (x+3)^2+(y-4)^2 = 10^2


3:
Kabaca şekil çizersek (çiziniz, ben çizmiyorum!); (0,0) noktası, merkez ve çemberin en uzak noktasını birleşitiren doğruyu belirleyiniz. Sonra bu P'den x'e bir dikme ininiz ve benzerlik gereği,
10/6 = (10+6)/y ⇒ y = 96/10 = 9,6 bulunur.


4:
Denklemi dönüştürelim; (x-2)^2+(y+3)^2=12=(2√3)^2 olduğundan r=2√3 ve o zaman bu üçgenin yüksekliği G noktası (bu aynı zamanda çemberin merkezi) gereği h=2√3+√3=3√3 olur. Ve yüksekliği bilinen eşkenar üçgenin alan formülü gereği,

A = h^2/√3 = (3√3)^2/√3 = 9√3 br^2 buluruz.

8. soruda o doğru çemberi kesiyor görünüyor işlem hatası yapmadıysam.5. soruda da bir hata var.Başka hata var mı diye kontrol edin.

Soru - 5:
(5, -6) noktasından geçen kirişlerin orta noktaları (x, y) ise orta nokta, merkez ve %, -6) noktasının meydana getirdiği üçgende Pisagor Teoremi ile;
(x - 5)^2 + (y + 6)^2 + (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 100 ve açılıp sadeleşetirilirse;
x^2 + y^2 - 4y = 17 ve tam kare haline getirilirse;
(x - 2)^2 + (y + 2)^2 = 17 + 4 + 4 = 25 bulunur.
---
Soru - 6:
(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 4[ (x - 1)^2 + (y - 0)^2 ] açılıp düzenlenirse;
3x^2 + 3y^2 + 6y - 21 = 0 ⇒ x^2 + y^2 + 2y - 7 = 0
---
Soru - 7:
Teğet Uzunluğu: [ (r + 8)^2 - (r - 8)^2 ]^0,5 = (32r)^0,5 = 4√(2r)....(I)
8 + r = [ 5^2 + (-12)^2 ]^0,5 ⇒ 8 + r = 13 ⇒ r = 5....(II)
(II) değeri, (I) eşitliğinde yazılırsa; 4√(2·5) = 4√10 bulunur.
---
Soru - 8:
Çember ve doğru kesiştikleri için; y = x + 8 ⇒ x = y - 8 olup çember denkleminde yerine yazılırsa;
(y - 8 + 1)^2 + (y - 4)^2 = 8 denklemi açılıp düzenlenirse 2y^2 - 22y + 57 = 0 ve aranan ordinat değerleri de;
y1 = (11 - √7) / 2, y2 = (11 + √7) / 2
---
Soru - 9:
vektörü x ekseni üzerinde pozitif yönde 1 birim uzunluğundaki vektör olduğundan bu vektöre dik teğetlerin denklemleri;
x1 = -4 + 2 = -2 ve x2 = -4 - 2 = -6 olur.
---
Soru - 10:
Paralel teğetlerin denklemi y = 1·x + n olup çemberle kesiştirilirse (x + 2)^2 + (x + n - 1)^2 = 18 ve düzenlenirse;
2x^2 + 2(n + 1)x + n^2 - 2n - 13 = 0 denkleminde teğetlik için yarım diskriminant sıfıra eşitlenirse;
Δ' = (n + 1)^2 - 2(n^2 - 2n - 13) = 0 ⇒ n^2 - 6n - 27 = 0 ⇒ (n + 3)(n - 9) = 0 ⇒ n1 = -3 ve n2 = 9 değerleriyle
y1 = x - 3 ve y2 = x + 9 bulunur.
---
Soru - 11:
Çok uğraştım ama anlayamadım. Üzerinde düşünüyorum. Yapamazsam diğer sitede sayın Şamil Üstadım'a soracağım.
---
Soru - 12:
y = mx + n ve teğet doğrusunun x ekseniyle pozitif yönde yapılan açı θ olmak üzere m = tanθ = 1 / 2 olacağından y = (x + n) / 2 yazılıp çemberle kesiştirilirse;
(x - 3)^2 + [ (x + n) / 2 ]^2 = 5 ve açılıp düzenlenirse; 5x^2 + 2(n - 8)x + n^2 + 8n + 32 = 0 olup teğetlik için yarım delta sıfıra eşitlenirse;
Δ' = (n - 8)^2 - 5(n^2 + 8n + 32) = 0 ⇒ n^2 + 14n + 24 = 0 ⇒ n1 = 2, n2 = 12 bulunarak teğetler;
y1 = (x + 2) / 2 ve y2 = (x + 12) / 2 olur.
---
Soru - 13:
çemberle doğru kesiştirilirse (x - 5)^2 + (4x / 3)^2 = 25 ve kesişme noktaları; (0, 0) ve (18 / 5, 24 / 5) olur.
Alanı en büyük üçgen ikizkenar olacağından; doğru ile çemberin arasında kalan kirişin (üçgenin tabanı) uzunluğu: (18^2 / 25 + 24^2 / 25)^0,5 = 6....(I)
Kirişin orta noktası (9 / 5, 12 / 5) ve kirişin orta noktasıyla (5, 0) kontasındaki merkezinden geçen yüksekliğin denklemi;
(y - 0) / (0 - 12 / 5) = (x - 5) / (5 - 9 / 5) eşitliğinden veya y - 0 = (-3 / 4)·(x - 5) denkleminden y = (-3x + 15) / 4 bulunup çemberle kesiştirilirse,
(x - 5)^2 + [ (-3x + 15) / 4 ]^2 = 25 denkleminden x1 = 1 ⇒ y1 = (-3 + 15) / 4 = 3 ve x2 = 9 ⇒ y2 = (-27 + 15) / 4 = -3 değerlerine göre üçgenin tepe noktası (9, -3) bulunur.
Üçgenin yüksekliği; [ (9 - 9 / 5)^2 + (-3 - 12 / 5)^2 ]^0,5 = 9 cm....(II)
(I) ve (II) eşitliklerinden üçgenin alanı: S = 6·9 / 2 = 27 birim^2 bulunur.