Çözüldü Basamak Analizi - Bölünebilme - Programlama

Bir soru:
"ABCD9" beş basamaklısının 56 ile bölümünden kalan iki basamaklı sayı olduğuna göre, bu bölümden kalan kaç farklı sayı bulunabilir?

10009 un 56 ile bölümünden kalan 41, 10019 un 56 ile bölümünden kalan 51
41,51,61=5
15,25,35,45,55,65=9
19,29,39,49,59=3
13,23,33,43,53.63=7
17,27,37,47,57=1
11,21,31,41 başa döndü
Yani: 41,51,15,25,35,45,55,19,29,39,49,13,23,33,43,53,17,27,37,47,11,21,31
23 tane buldum ben.

Çok basit bir çözümü var:
ABCD9 sayısı tektir. 56 sayısının hangi sayı ile çarparsak çarpalım çifttir. Dolayısyla "ABCD9 - Çift sayı = Tek sayı" edecektir. Demek ki kalanlarımız tek'tir. Dolayısıyla böylesi bir bölmede değişik (değişen) her ABCD9 sayısına nisbetle 11 ilâ 55 arasındaki (tek) tüm kalan sayıları illâ ki bulunacaktır veya bulmak mümkün olacaktır. Aşikâr.
Çok daha üst dilden bir çözüm de şu:
56=2.4.7 ve (2,4,7)=1 (aralarında asal) olduğundan 2 çarpanı için incelendiğinde, ABCD9 sayısının 2 ile bölümünde kalan 1 olduğundan, 2 modunda 56'ya kadar tarandığında 11 ilâ 55 sayıları (kalanları) görülebilmektedir.

Kezâ 4 çarpanı için son iki basamak inceleneceğinden (D9), D=0 ve ya D=1 için bakılır, diğer tek ve çift rakamlar için de aynı şey (kalanlar) sözkonusu olacaktır:
D=0 ise 09'un 4 ile bölümünden kalan 1 olduğundna 4 modunda kalanlar; 1,5,9,13,17,21,25,29,33,37,41,45,49,53
D=1 ise 19'un 4 ile bölümünden kalan 3 olduğundan 4 modunda kalanlar; 3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55 biçiminde bulunur.

Dolayısıyla 2.4.7'deki 2 ve 4 çarpanları için sayıının ortak kalanlar kümesi {11,13,15, ......., 53,55} olduğundan, 7 çarpanı için 7 ile bölümden kalanlar kümesi de buna eşit olacaktır veya bu da incelendiğinde bu "11-55" kümesine eşit olduğu görülecektir. Fakat bu 7 için beş basamaklıyı incelemek zor ve uzun olduğundan artık buna gerek yoktur. 2 ve 4'ün incelenmesinden çıkan küme bize yetecektir.
Cevap={11, 13, 15, ..., 53, 55}'dir.

Bilgisayar programlama (kodlama) ile ilgilenen öğrenciler için Fortran çözümü:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/kalanl11.png

Program:

Kod:

! "ABCD9" beş basamaklısının 56 ile bölümünden kalan iki basamaklı sayı
! olduğuna göre, bu bölümden kalan kaç farklı sayı bulunabilir?
program kalanlar
implicit none
integer :: ABCD9,boyut=0,i=0,j,k=0,p,temp, kalan
integer, allocatable :: CD(:), res(:)

do ABCD9 = 10000, 99999
   kalan = MOD(ABCD9,56)
   if (kalan < 10) cycle
   boyut=boyut+1
enddo

allocate(CD(boyut))

do ABCD9 = 10000, 99999
   kalan = MOD(ABCD9,56)
   if (kalan < 10) cycle
   if (MOD(kalan,2) == 0) cycle
   i = i + 1; CD(i) = kalan
enddo

allocate(res(size(CD)))

res(1) = CD(1)

do j=1,i
   if (any(res == CD(j))) cycle
   k = k + 1
   res(k) = CD(k)
enddo

print*,''
write(*,fmt='(a,i3,a,/)') 'Farkli kalanlarin sayisi:',k,' adet.'

do j=1,k-1
   do p=j+1,k
      if (res(j) < res(p)) cycle
      temp=res(j)
      res(j)=res(p)
      res(p)=temp
    enddo
enddo

do j=1,k
   write(6,10)j,"    ",res(j)  
enddo

deallocate (CD, res)

10 format(2(i3,a))

end program