Çözüldü Çarpanlara Ayırma (5 Soru)

Bence gayet uygun olmuş.Sıkıntı görünmüyor.Bu şekilde atabilirsin sorularını.
Çözen olmazsa en kısa zamanda çözeceğim soruları.Bu aralar çok yoğun ve hastayım.
İyi çalışmalar.

Allah şifâ versin Hocam'a...

1:
x^2+1=-x ve x^2+x+1=0 ve (x-1)(x^2+x+1)=0=x^3-1 ve x^3=1 eder.

x^2005 + 1/x^2002 = (x^3)^k.x + 1/(x^3)^n.x ; k ve n sırasıyla 668 ve 667'dir. Ve, x + 1/x sadeleşmesi elde edilir ve x + 1/x=-1 bulunur.

2:
x+√x=3
Her iki tarafı √x ile çarpalım; x√x+x=3√x... x'e bölelim; √x+1=3√x/x... Her iki tarafa x ekleyelim; x+√x+1=x + (3√x/x)=4
(x + 3/√x)^3 = (x + 3√x/x)^3 olduğundan, 4^3=64

Sayın Bora Hocam, çok geçmiş olsun. En kısa zamanda eski sağlığınıza kavuşmanızı dilerim. Bu arada amatörce yardımcı olmaya çalışayım:

1. Soru:
Kısa yolunu göremedim (ilk terim de x^2002 olsaydı arka arkaya kare alınarak düzenlenince sonuç -1 çıkıyor) ve ancak karmaşık sayılarla yapabildim (sağ olsun sayın Cem Hocamız Hızır gibi yetişmiş, yolladıktan sonra gördüm):

Verilen ifadeden x^2 + x + 1 = 0 ⇒ x = -(1 / 2) ∓ (√3 / 2) ⇒ x1 = cis(2π / 3), x2 = cis(4π / 3)

x^2005 + (1 / x^2002) = x^2005 + x^(-2002) şeklinde yazılıp x1 için DeMoivre Kuralı ile düzenlenirse;
cis(2·2005π / 3) + cis(-2·2002π / 3) =
cis[ 1336π + (2π / 3) ] + cis[ -1334π - (2π / 3) ] =
cis(2π / 3) + cis(-2π / 3) =
cos(2π / 3) + i·sin(2π / 3) + cos(2π / 3) - i·sin(2π / 3) =
2cos(2π / 3) = 2(-1 / 2) = -1
---
2. Soru:
x + √x = 3 eşitliği, diğer ifadede yerine yazılırsa;
{ x + [ (x + √x) / √x ] }^3 =
[ x + (x / √x) + 1]^3 ve ikinci terimin paydası rasyonel yapılıp düzenlenince,
(x + √x + 1)^3 = (3 + 1)^3 = 64
---
3. Soru:
İlk ifadeden t^3 = t - 1....(I)
İkinci eşitlikten (t^3)^2 - t(t^3 - 1) + t....(II)
(I) eşitliği, (II)'de yerine yazılırsa;
(t - 1)^2 - t(t - 1) + t =
t^2 - 2t + 1 - t^2 + t + t = 1
---
3. Soru:
Verilen ifade (x - a)^2 + (y - b)^2 = 0 olacak şekilde tam kare haline getirilirse;
[ x - (1 / 2) ]^2 - (1 / 4) + [ y + (1 / 4) ]^2 - (1 / 16) + (5 / 16) = 0
[ x - (1 / 2) ]^2 + [ y + (1 / 4) ]^2 + [ (5 - 1 - 4) / 16 ] = 0
[ x - (1 / 2) ]^2 + [ y + (1 / 4) ]^2 = 0 eşitliği çıkar ki bunun sağlanabilmesi için parantez içindeki terimleri sıfıra eşit olmaları şarttır. O halde;
x - (1 / 2) = 0 ⇒ x = 1 / 2
y + (1 / 4) = 0 ⇒ y = -1 / 4
x + y = (1 / 2) - (1 / 4) = 1 / 4
---
4. Soru:
Daha kısa bir yolu vardır herhalde ama ben şöyle yapabildim:
a - 4 = 3 / √a eşitliğinde iki tarafın karesi alınıp düzenlenirse a^3 - 8a^2 + 16a - 9 = 0 denklemi çıkar ve Rasyonel Kök Teoremi gereğince son terimin çarpanlarına bakılırsa a = 1 değerinin kök olduğu görülür (ancak bu değer verilen eşitliği sağlamamaktadır) ve Horner Yöntemi ile veya polinom bölmesi yapılırsa;
(a - 1)(a^2 - 7a + 9) = 0 şeklinde çarpanlara ayrılabilir. O halde ikinci derece denklemden de kökler (7 ∓ √13) / 2 bulunur.
Sorulan ifade ise bu kökler yerine yazılarak;
[ (7 ∓ √13) / 2 ] + [ 9·2 / (7 ∓ √13) ] =
[ (7 ∓ √13)^2 + 36 ] / [ 2(7 ∓ √13) ] =
(49 ∓ 14√13 + 13 + 36) / [ 2(7 ∓ √13) ] =
(2·49 ∓ 14√13) / [ 2(7 ∓ √13) ] =
7(7 ∓ √13) / (7 ∓ √13) = 7

Sayın Cem Hocamız'a pratik çözümleri için çok teşekkür ederim, bu yolları hemen notlarım arasına alayım, belki torunum olursa o da çalışıp öğrenir.