Çözüldü Çarpanlara Ayırma (14 Soru)

Yapabildiklerimi vereyim, eksiklerimi ve hatalarımı bir hayırsever gösterir inşallah ve ben de öğrenmiş olurum:

Solda üstten birinci sıradaki 39 numaralı soruda cevabı farklı buluyorum çünkü x + 3√x = 15 denkleminden iki eşlenik kök çıkıyor ve bunlardan, verilen eşitliği sağlayanı
(3 / 2)(13 - √69) ≈ 7,0401. Bu değer de sorulan ifadede yerine yazılırsa 7,0401 + (15 / √7,0401) ≈ 12,6934 çıkıyor.
---
Solda üstten ikinci sırada 3 numaralı soru:

(x + ay)(x + y + b) şeklinde çarpanlara ayrılabileceği düşünülürse x^2 + xy + bx + axy + ay^2 + aby ≡ x^2 - 2y^2 - xy + 2x - 4y denkliğinden "Belirsiz Katsayılar Kuralı" gereğince;
a = -2 ve b = 2 olması gerektiği görülerek;

x^2 - 2y^2 - xy + 2x - 4y = (x - 2y)(x + y + 2) = 0 ve birinci çarpanın sıfıra eşitliği ile x - 2y = 0 ⇒ x = 2y ⇒ x / y = 2 bulunur.
---
Solda üstten üçüncü sırada 20 numaralı soru:

Verilen ifadenin sırayla 512 / 2 = 256 kez (sadece hipotetik olarak) karesi alınıp her seferinde düzenlenirse devamlı -1 bulunur.
---
Sağda üstten birinci sıradaki sorunun cevabını da farklı buluyorum çünkü x^2 - x = 1 denkleminden iki eşlenik kök çıkıyor.

x1 = (1 / 2)(1 - √5) ≈ -0,61803

x2 = (1 / 2)(1 + √5) ≈ 1,61803

Bunlara göre:
(-0,61803)^101 + [ 1 / (-0,61803)^101 ] ≈ -1,28 × 10^21

(1,61803)^101 + [ 1 / (1,61803)^101 ] ≈ 1,28 × 10^21 oluyor.
---
Sağda üstten ikinci sıradaki 16 numaralı soru:

x^3 - 2x + 1 = (x - 1)(x^2 + x - 1) şeklinde çarpanlara ayrılabileceğinden sadeleştirme ancak ikinci derece terimler arasında olabilir. Buna göre x^2 + x - 1 = x^2 - mx - 1 eşitliği için -m = 1 ⇒ m = -1 bulunur.
---
Sağda üstten üçüncü sıradaki soru:

Verilen ifade √x(√x + 1) = 2 şeklinde yazılırsa bu eşitliğin sağlanabilmesi için √x = 1 ⇒ x = 1 olması gerekir. Buna göre de;

3x + [ 6 / (√x + 1) ] = 3·1 + [ 6 / (1 + 1)] = 3 + (6 / 2) = 3 + 3 = 6 çıkıyor.
---
Sağda üstten dördüncü sıradaki 3 numaralı soru:

x^2 - 4 = 6x
x^2 - 6x - 4 + 9 - 9 = 0
(x - 3)^2 - 13 = 0
(x - 3 + √13)(x - 3 - √13) = 0
x1 = 3 - √13
x2 = 3 + √13

Sorulan ifade;
x1 = 3 - √13 için 3 - √13 - [ 12 / (3 - √13 - 4) ] = 3 - √13 - [ 12 / (-√13 - 1) ] = 3 - √13 + [ 12 / (√13 + 1) ] =
3 - √13 + [ 12(√13 - 1) / (13 - 1) ] = 3 - √13 + √13 - 1 = 2

x2 = 3 + √13 için 3 + √13 - [ 12 / (3 + √13 - 4) ] = 3 + √13 - [ 12 / (√13 - 1) ] =
3 + √13 - [ 12(√13 + 1) / (13 - 1) ] = 3 + √13 - √13 - 1 = 2
---
Sağda en alttaki 17 numaralı sorunun cevabını da farklı bir seçenek buluyorum.

A = 2a^2 + 4a + 4
B = b^2 - 6b + 6
Min(A + B) = Min(A) + Min(B)
dA / da = 4a + 4 = 0 ⇒ a = -1 ⇒ Min(A) = 2(-1)^2 + 4(-1) + 4 = 2 - 4 + 4 = 2
dB / db = 2b - 6 = 0 ⇒ b = 3 ⇒ Min(B) = 3^2 - 6·3 + 6 = -3

Min(A + B) = 2 + (-3) = -1
---
En sondan üçüncü soru: Kısa yolu da vardır mutlaka ama ben böyle yapabildim:

x^2 - 3x - 3 = 0 ⇒ x = (3 ∓ √21) / 2

(x + 1)^2 + 1 / (x + 1)^2 = { (x + 1) + [1 / (x + 1)] }^2 - 2 =

{ [ (5 ∓ √21) / 2 ] + [ 2 / (5 ∓ √21) ] }^2 - 2 =

[ (25 ∓ 10√21 + 21 + 4) / 2(5 ∓ √21) ]^2 - 2 =

[ (50 ∓ 10√21) / 2(5 ∓ √21) ]^2 - 2 = 5^2 - 2 = 23
---
En sondan 18 numaralı ikinci soru:

Verilen ifadeden √x(√x - 1) = √3....(I)

Sorulan ifade x - (√3 / √x)....(II) şeklinde yazılıp (I) eşitliği, (II)'de yerine yazılırsa;

x - [ √x(√x - 1) / √x ] ve kısaltmayla x - √x + 1 = √x(√x - 1) + 1 bulunup sağ tarafta (I) eşitliği tekrar yazılırsa;

√3 + 1 bulunur.
---
En sondaki 19 numaralı soru:

Pay ve payda (3^1 - 1) ile çarpılırsa;

(3^12 - 3)·(3^1 - 1) / (3^1 - 1)·(3^10 + 3^9 + 3^8 + ... + 1) = 3·(3^11 - 1)·2 / (3^11 - 1) = 3·2 = 6
---
Birinci resimde soldaki 15 ve 19 numaralı soruların ilk satırlarını tam göremiyorum.
---
Sayın Cem Hocam'a bir sürü işleri arasında yine de zaman ayırıp bizlere yardımcı olduğu için ben de ayrıca çok teşekkür ederim. Okuyamadığım sorulardaki düzeltmeler için soruyu yollayan üyemize de teşekkürler, uğraşayım bakayım, yapabilecek miyim

x^2/(x+1)=3 ve A^2+B^2=(A+B)^2-2AB özdeşliğinden hareketle;

(x+1)^2 + (1/x+1)^2=(x+1 + 1/x+1)^2 - 2 = (x^2+2x+2/x+1)^2 - 2 = (x^2/x+1 + 2 )^2 - 2 = (3+2)^2-2 = 25-2 = 23