Çözüldü Üçgende Açı ve Uzunluk - Trigonometri (Doğruysa bile çok uzun bir çözüm oldu)

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/trigon59.png
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=2967636609941066&set=gm.1884249878379213&type=3&theater&ifg=1
(Sorunun gönderildiği Facebook grubu 25 Eylül 2022 tarihinde "Private" duruma getirildiği için aslını ve varsa diğer çözümleri ancak üyeleri görebilir.)

A seçeneğini buldum ama doğruysa bile mutlaka kısa bir çözümü vardır. İlgilenen hayırseverlere şimdiden çok teşekkürler.
Sinüs Teoremi ile: a / sinA = b / sinB ⇒ a / b = sinA / sinB....(I)
Problemde verilen eşitliğin her terimi b ile bölünerek;
(a / b)·cosB - cosA = 2(a / b) - 2....(II)
(I) eşitliği (II)'de kullanılıp; (sinA / sinB)·cosB - cosA = 2(sinA / sinB) - 2
sin(A - B) = 2sin(A - sinB)
2·{ sin[ (A - B) / 2 ] }·{ cos[ (A - B) / 2 ] } = 2·2·{ sin[ (A - B) / 2 ] }·{ cos[ (A + B) / 2 ] }
{ sin[ (A - B) / 2 ] }·{ cos[ (A - B) / 2 ] - 2·cos[ (A + B) / 2 ] } = 0....(III)
(III)'teki birinci çarpandan sin[ (A - B) / 2 ] = 0 = sin0 ⇒ (A - B) / 2 = 0 ⇒ A = B çıkar ki probleme göre üçgen çeşitkenar olduğundan A ≠ B ≠ C nedeniyle mümkün değildir ve böylece (III) eşitliği sadeleştirilerek;
cos[ (A - B) / 2 ] - 2·cos[ (A + B) / 2 ] = 0
cos[ (A - B) / 2 ] = 2·cos[ (A + B) / 2 ]....(IV) yazılır.
A + B + C = 180°....(V)
(A + B) / 2 = 90° - C / 2....(VI)
(V) ifadesi (IV)'te sağ taraftaki yerine konularak; cos[ (A - B) / 2 ] = 2·cos(90° - C / 2) = 2·sin(C / 2) ve bu eşitliğin iki tarafı cos(C / 2) ile çarpılırsa;
{ cos[ (A - B) / 2 ] }·cos(C / 2) = 2·[ sin(C / 2) ]·[ cos(C / 2) ]
{ cos[ (A - B) / 2 ] }·cos(C / 2) = sinC....(VII)
cos2θ = 2·[ (cosθ)^2 ] - 1 ⇒ cosθ = [ (1 + cos2θ) / 2 ]^0,5....(VIII)
(VII) eşitliğinin sol tarafı (VIII) özdeşliğine göre değiştirilip;
{ [ 1 + cos(A - B) ] / 2 }^0,5 · [ (1 + cosC) / 2 ]^0,5 = sinC
[ 1 + cos(A - B) ]·(1 + cosC) = (2sinC)^2....(IX)
(IX)'da sol tarafta (VIII) özdeşliği, sağda da sinC = 2·[ sin(C / 2) ]·[ cos(C / 2) ] kullanılarak;
2·{ cos[ (A - B) / 2 ] }^2·{ 2·[ cos(C / 2) ]^2 } = 16·{ [ sin(C / 2) ]^2 }·{ [ cos(C / 2) ]^2 }
{ cos[ (A - B) / 2 ] }^2 · { [ cos(C / 2) ]^2 } = 4·{ [ sin(C / 2) ]^2 }·{ [ cos(C / 2) ]^2 }
{ [ cos(C / 2) ]^2 } · ( { cos[ (A - B) / 2 ] }^2 - 4·[ sin(C / 2) ]^2 ) = 0....(X)
(X)'da en soldaki ilk çarpandan [ cos(C / 2) ]^2 = 0 ⇒ cos(C / 2) = 0 = cos(90°) ⇒ C = 180° olamayacağından sadeleştirilerek;
{ cos[ (A - B) / 2 ] }^2 - 4·[ sin(C / 2) ]^2 = 0
cos[ (A - B) / 2 ] = ∓2sin(C / 2)....(XI)
Önce artı işareti alınıp;
cos[ (A - B) / 2 ] = 2cos(90° - C / 2) = 2sin(C / 2) iki taraf cos(C / 2) ile çarpılıp;
{ cos[ (A - B) / 2 ] }·cos(C / 2) = 2[ sin(C / 2) ]·cos(C / 2)
{ cos[ (A - B) / 2 ] }·cos(C / 2) = sinC
(1 / 2)·{ cos[ (A - B + C) / 2 ] + cos[ (A - B - C) / 2 ] } = sinC....(XII)
(V) kullanılıp (XII) eşitliği sadeleştirilirse; cos(90° - B) + cos(A - 90°) = 2sinC
sinA + sinB = 2sinC....(XIII)
Sinüs Teoremi'nden a / sinA = b / sinB = c / sinC olup sinA = (a·sinC) / c....(XIV) ve sinB = (b·sinC) / c....(XV)
(XIV) ve (XV) eşitlikleri (XIII)'teki yerlerine götürülerek;
(a·sinC) / c + (b·sinC) / c = 2sinC
a / c + b / c = 2
a + b = 2c

Elinize sağlık.
Bir çözümde benden...
Ben A buldum ama

Sağ olun kıymetli Bora Üstadım, zihninize ve elinize sağlık sayın hocam. Zaten Erol Ünal Hoca da https://www.facebook.com/photo.php?fbid=2789214957842465&set=p.2789214957842465&type=3&theater adresinde sonra bir çözüm yapmış. Önce hatalı yaptım sanmıştım ama ben de A bulmuşum, neyse ki tamamen çöpe gitmedi o kadar debelenmem.