Çözüldü Trigonometrik Denklem (Ancak Rasyonel Kök Teoremi ile çözebildim)

https://i.ibb.co/S7BCdtD/trigonometrik-denklem5.png
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=246875563344640&set=gm.3512863195395687&type=3&theater&ifg=1

Kısa bir çözüm varsa ben de öğrenmek isterim. İlgilenen hayırseverlere şimdiden çok teşekkürler.

sinx / cosx + 1 / cos2x = 1
cosx = (cos2x)(cosx - sinx)
(cosx)^2 = [ (cos2x)^2 ]·(1 - sin2x)
(1 + cosx2x) / 2 = [ (cos2x)^2 ]·{ 1 - [ 1 - (cos2x)^2 ]^0,5 }
(1 + cosx2x) / { 2·[ (cos2x)^2 ] } = 1 - [ 1 - (cos2x)^2 ]^0,5
[ 1 - (cos2x)^2 ]^0,5 = 1 - (1 + cosx2x) / { 2·[ (cos2x)^2 ] }....(I)
cos2x = y....(II) değişken dönüşümüyle (I) denklemi düzenlenip;
√(1 - y^2) = (2y^2 + y - 1) / [ 2(y^2) ]
1 - y^2 = [ (2y^2 + y - 1)^2 ] / [ 4(y^4) ]
(y^6) + (y^3) - (3 / 4)(y^2) - (1 / 2)y + (1 / 4) = 0 denkleminde son terim olan 1 / 4'ün çarpanlarından biri, (II) eşitliği nedeniyle ∓1 / √2 olmalıdır ve gerçekten;
(1 / √2)^6 + (1 / √2)^3 - (3 / 4)[ (1 / √2)^2 ] - (1 / 2)(1 / √2) + (1 / 4) = 0 eşitliği sağlandığından en küçük pozitif kök;
cos2x = 1 / √2 = cos(π / 4)
k ∈ Z
2x = ∓π / 4 + k·π
x = ∓π / 8 + k·π / 2
k = 0 ⇒ x1 = π / 8 seçeneklerde var ancak çözümü araştırılan denklemi sağlamıyor.
k = 1 ⇒ x2 = -π / 8 + π / 2 = 3π / 8

Grafik:

https://i.ibb.co/S6xjNyp/trigonometrik-denklem2.png

Özelliklerle...

Zihninize sağlık sayın Bora Üstadım, çok teşekkürler, sec2α ifadesini eşitliğin sağ tarafına sallamayı hiç düşünemedim.

Ben de öylesine bir sallayayım dedim. Baktım soru çözülüyor )