Çözüldü Euler - Cauchy Diferansiyel Denklemi

Böyle diferansiyel denklem olmaz.
0 = 4e^x ⇒ x = -∞.
Veya e^x terimleri sadeleştirilirse A - A = 4 ⇒ 0 ≠ 4.

Rica ederim, iyi çalışmalar

(x^2)·(y'') - 4x·(y') + 3y = x·ln(x)

Euler - Cauchy Diferansiyel Denklemi.
x = e^t ⇒ dx / dt = e^t ⇒ dt / dx = e^(-t)
---Bu bölümün gösterilmesi gerekmez ve sadece (I) ile (II) dönüşümlerinin yazılıp çözüme geçilmesi yeter.
y'(x) = dy / dx = (dy / dt)(dt / dx) = [ e^(-t) ]·(dy / dt) = [ e^(-t) ]·y'(t)....(I)
y''(x) = (d / dt)·(y')·(dt / dx) = { (d / dt)·[ e^(-t) ]·(dy / dt) }·[ e^(-t) ] =
{ -[ e^(-t) ]·[ y'(t) ] + [ e^(-t) ]·[ y''(t) ] }·[ e^(-t) ] =
[ e^(-2t) ]·[ y''(t) ] - [ e^(-2t) ]·[ y'(t) ] =
[ e^(-2t) ]·[ y''(t) - y'(t) ]....(II)
---
(I) ve (II) dönüşümlerinden sonra denklemin yeni hali;
[ e^(2t) ]·[ e^(-2t) ]·[ y''(t) - y'(t) ] - 4(e^t)·[ e^(-t) ]·y'(t) + 3y = (e^t)·t
y''(t) - 5y'(t) = (e^t)·t
r^2 - 5r = 0 ⇒ r1 = 0, r2 = 5
yh(t) = C1 + C2·[ e^(5t) ]....(III)
yp(t) = (e^t)·(a·t + b)
y'(t) = (e^t)·(a·t + b) + a·(e^t)
y''(t) = (e^t)·(a·t + b) + 2a·(e^t)
(e^t)·(a·t + b) + 2a·(e^t) - 5(e^t)·(a·t + b) - 5a·(e^t) = (e^t)·t
a·t + b + 2a - 5a·t - 5b - 5a = t
-4a·t - 3a - 4b = t
-4a = 1 ⇒ a = -1 / 4
-3a - 4b = 0 ⇒ b = 3 / 16
yp(t) = (e^t)·(-t / 4 + 3 / 16)....(IV)
(III) homojen çözümüyle ve (IV) özel çözümü toplanarak t değişkenine bağlı genel çözüm;
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 + C2·[ e^(5t) ] + (e^t)·(-t / 4 + 3 / 16)....(V)
WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=y''(t) - 5y'(t) = (e^t)·t
Not: (1 / 80)C1... diye gösterilen ifade, yukarıdaki çözümde C2 içindedir.

x = e^t eşitliğinden x değişkenine geri dönülerek (V) denkleminden;
y(x) = C1 + C2·(x^5) - (x / 4)·ln(x) + 3x / 16.

Rica ederim, yararlı olduysa tamamdır.