Çözüldü 1^∞ Belirsizliği - Üstel Fonksiyonlu Sonsuzda Limit - Logaritma - Türev

University of Wisconsin - Madison'dan çözümünde hata olan bir problemin fen lisesi için test uyarlaması.

lim (n → ∞) [ ln(e + 1 / n) ]^n = ?

A) e - 1 / e
B) e + 1 / e
C) 2e
D) e / 2
E) e^(1 / e)

[ ln(e + 1 / n) ]^n = A
n·ln[ ln(e + 1 / n) ] = ln(A)
ln[ ln(e + 1 / n) ] / (1 / n) = ln(A)
lim (n → ∞) ln[ ln(e + 1 / n) ] / (1 / n) = lim (n → ∞) ln(A)
lim (n → ∞) ln[ ln(e + 1 / n) ] / (1 / n) = ln[ lim (n → ∞) A ] eşitliğinde sol taraf 0 / 0 belirsizliğinde olduğu için L'Hospital Kuralı uygulanır;
Önce u = ln(e + 1 / n) dönüşümüne göre u'= (0 - 1 / n^2) / ln(e + 1 / n) olup,
lim (n → ∞) { [ (-1 / n^2) / (e + 1 / n) ] / ln(e + 1 / n) } / (-1 / n^2) = ln[ lim (n → ∞) A ]
lim (n → ∞) 1 / [ (e + 1 / n)·ln(e + 1 / n) ] = ln[ lim (n → ∞) A ]
1 / [ (e + 0)·ln(e + 0) ] = ln[ lim (n → ∞) A ]
1 / e = ln[ lim (n → ∞) A ]
e^(1 / e) = lim (n → ∞) A = lim (n → ∞) [ ln(e + 1 / n) ]^n

Sorunun Aslı ve Çözümü:

https://i.ibb.co/20mFf747/UWM.png
https://wetalldid.wordpress.com/wp-...lculus-and-analytic-geometry-2-joe-miller.pdf
(Sayfa 8, Soru 5)

Not: e üzerindeki f(n) fonksiyonunda ∞ / ∞ değil 0 / 0 belirsizliği var ayrıca hoca "indeterminate" tipini de lütfedip söylese iyi olurdu.