Çözüldü Bernoulli Diferansiyel Denklemi - Türev Operatörü - Parametrelerin Değişimi Yöntemi (3 Soru)

Soru - 4
y bağımlı ve x bağımsız değişken olarak Bernoulli Diferansiyel Denkleminin genel (teorik) çözümü:

P(x) ve Q(x), x değişkenine göre sürekli fonksiyonlar ve n ≠ 0, n ≠ 1 olarak dy / dx + [ P(x) ]·y = Q(x)·(y^n ) tipi birinci mertebeden denklemler Bernoulli Diferansiyel Denklemidir.
Denklemin iki tarafı y^n ile bölünür; [ y^(-n) ]·(dy / dx) + [ P(x) ]·[ y^(1 - n) ] = Q(x)....(I)
u = y^(1 - n)....(II) değişken dönüşümüyle;
du / dx = (1 - n)·[ y^(-n) ]·(dy / dx)
[ y^(-n) ]·(dy / dx) = [ 1 / (1 - n) ]·(du / dx) olarak bu ifade (I) denkleminde en soldaki yerine yazılıp;
[ 1 / (1 - n) ]·(du / dx) + [ P(x) ]·u = Q(x)
du / dx + (1 - n)·[ P(x) ]·u = (1 - n)·Q(x) şeklinde birinci mertebeden lineer diferansiyel denklem haline indirgenir ve;
1)
x değişkenine bağlı birer fonksiyon k ile v olmak üzere u = k·v....(II) değişken dönüşümü yapılarak du / dx = k·(dv / dx) + v·(dk / dx) ile genel çözüm aşağıdaki gibi yapılır:
k·(dv / dx) + v·(dk / dx) + (1 - n)·k·v = (1 - n)·Q(x)
k·[ dv / dx + (1 - n)·v ] + v·(dk / dx) = (1 - n)·Q(x)....(III) haline gelen denklemde dv / dx + (1 - n)·v = 0....(IV) olacak şekilde bir
v(x) = e^[ (n - 1)x ]....(V) fonksiyonu kolayca bulunarak (IV) şartı ve buna bağlı olarak çıkan (V) fonksiyonuyla (III) denklemi
k·0 + { e^[ (n - 1)x ] }·(dk / dx) = (1 - n)·Q(x)
dk / dx = (1 - n)·{ e^[ (1 - n)x ] }·Q(x)
dk = (1 - n)·{ e^[ (1 - n)x ] }·Q(x) dx
k(x) = (1 - n)·∫ { e^[ (1 - n)x ] }·Q(x) dx integrali de Q(x) fonksiyonuyla n sayısına bağlı olarak;
k(x) = (1 - n)·∫ { e^[ (1 - n)x ] }·Q(x) dx = g(x)....(VI) şeklinde bulunup (V) ve (VI) fonksiyonları (II) eşitliğindeki yerlerine taşınıp;
u = g(x)·{ e^[ (n - 1)x ] } ve son olarak da y^(1 - n) = g(x)·{ e^[ (n - 1)x ] }
y = ( g(x)·{ e^[ (n - 1)x ] } )^[ 1 / (1 - n) ] genel çözümü bulunur. Bu çözüm (VI) eşitliğiyle bilinen (çözülen) k = g(x) fonksiyonuyla n sayısına bağlıdır.
Not: Çözüm yöntemi Prof.Dr. Ahmet A. Karadeniz'in kitabından alınarak detaylandırılmıştır.

2)
Lagrange Sabitin Değişimi (Variation of Parameters) yöntemiyle de genel çözüm bulunur.
---
Soru - 5
Sağ tarafsız homojen çözümün (yh) bulunması için karakteristik denklem kökleri D(D^2 - 1)(D - 2) = 0
D1 = 0, D2 = -1, D3 = 1, D4 = 2 olarak yh(x) = C1·[ e^(0·x) ] + C2·[ e^(-1·x) ] + C3·[ e^(1·x) ] + C4·[ e^(2·x) ]
yh(x) = C1 + C2·[ e^(-x) ] + C3·(e^x) + C4·[ e^(2x) ]....(I)
Sağ taraflı birinci özel (particular) çözüm, sol tarafta türevsiz y fonksiyonu olmadığından;
yp1(x) = x(ax^2 + bx + c) = ax^3 + bx^2 + cx olarak D(D^2 - 1)(D - 2) = D^4 - 2D^3 - D^2 + 2D açılımıyla
[ bu tür bir açılımı sınavda uğraşmayp D = a alarak expand a(a^2 - 1)(a - 2) komutuyla WA'ya yaptırın ve a^4 - 2a^3 - a^2 + 2a olarak hazır alırsınız ve buradaki üsler y fonksiyonunun türevleridir ] denkleme uygulanırsa;
y'''' - 2y''' - y'' + 2y' = x^2 + 2x + 3 eşitliğinde sol tarafta yp1(x) = ax^3 + bx^2 + cx fonksiyonunun türevleri alınırsa;
y' = 3ax^2 + 2bx + c
y'' = 6ax + 2b
y''' = 6a
y'''' = 0
0 - 2·6a - (6ax + 2b) + 2(3ax^2 + 2bx + c) = x^2 + 2x + 3
6a·x^2 + (4b - 6a)·x - 12a - 2b + 2c = x^2 + 2x + 3 ve burada Belirsiz Katsayılar Kuralı (Undetermined Coefficients Rule) ile;
aşağıdaki gibi üç bilinmeyenli denklem çözümüyle sınavda uğraşmayıp doğrudan WolframAlpha'ya 6a = 1, 4b - 6a = 2, -12a - 2b + 2c = 3 yazarak katsayıları;
a = 1 / 6, b = 3 / 4, c = 13 / 4 olarak bulun.

**** Sınavda bu bölümle uğraşmayın
6a = 1 ⇒ a = 1 / 6
4b - 6a = 2 ⇒ b = (3a + 1) 2 = [ 3(1 / 6) + 1 ] / 2 = 3 / 4
-12(1 / 6) - 2(3 / 4) + 2c = 3
2c = 3 + 2 + (3 / 2)
c = 13 / 4
****

Böylece birinci özel çözüm yp1(x) = x^3 / 6 + 3x^2 / 4 + 13x / 4....(II) olur.
Karakteristik denklemin bir katlı köklerinden olan r = 1, sağ taraftaki -2(e^x) fonksiyonunda x değişkeninin katsayısı da olduğundan ikinci özel çözüm, yp2(x) = A(x^1)(e^x) = A·x·e^x olacağından türevler alınıp;
y' = Ae^x + A·x·e^x
y'' = Ae^x + (Ae^x + A·x·e^x) = 2Ae^x + A·x·e^x
y''' = 2Ae^x + (Ae^x + A·x·e^x) = 3Ae^x + A·x·e^x
y'''' = 3Ae^x + (Ae^x + A·x·e^x) = 4Ae^x + A·x·e^x
ve bu türev fonksiyonları denklemdeki yerlerine yazılıp;
4Ae^x + A·x·e^x - 2(3Ae^x + A·x·e^x) - (2Ae^x + A·x·e^x) + 2(Ae^x + A·x·e^x) = -2e^x
4A + Ax - 6A - 2Ax - 2A - Ax + 2A + 2Ax = -2
4A - 6A - 2A + 2A = -2
A = 1
yp2(x) = x·e^x....(III)
Sonuç olarak (I), (II), (III) toplanıp tam genel çözüm;
y(x) = yh(x) + yp1(x) + yp2(x)
y(x) = C1 + C2·[ e^(-x) ] + C3·(e^x) + C4·[ e^(2x) ] + x^3 / 6 + 3x^2 / 4 + 13x / 4 + x·e^x

WolframAlpha (WA) Kontrolu (Symbolab Çözemedi):
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y'''' - 2y''' - y'' + 2y' = x^2 + 2x + 3 - 2e^x

Not: WA gereksiz fanteziyle C2 / 2 diye bir katsayı vermiş, onun kendisi zaten başka bir c2 olarak düşünülebilir. Diğer terimler doğru.
---
Soru - 3
y'' - 2y' + y = (e^x) / x diferansiyel denkleminin Lagrange Sabitin (Parametrelerin) Değişimi yöntemiyle çözümü

d / dx = r alınıp karakteristik denklem (auxiliary polynomial) r^2 - 2r + 1 = 0 ⇒ (r - 1)^2 = 0 ⇒ r = 1 çift katlı kök olduğundan homojen çözüm;
yh(x) = (e^x)(C1 + C2·x)....(I) ve türevler alınırsa;
y' = (e^x)(C1 + C2·x) + (e^x)(C1' + C2'·x + C2) ve buradan birinci bütünler şart C1' + C2'·x = 0....(II) olup buna göre birinci türev fonksiyonu;
y' = (e^x)(C1 + C2·x) + (e^x)·C2
y' = (e^x)(C1 + C2 + C2·x)....(III) eşitliğinden tekrar türev alınarak;
y'' = (e^x)(C1 + C2 + C2·x) + (e^x)(C1' + C2' + C2'·x + C2)
y'' = (e^x)(C1 + C2 + C2·x + C1' + C2' + C2'·x + C2)....(IV)
(IV), (III), (I) eşitlikleri çözülecek denklemdeki yerlerine konulursa;
(e^x)(C1 + C2 + C2·x + C1' + C2' + C2'·x + C2) - 2(e^x)(C1 + C2 + C2·x) + (e^x)(C1 + C2·x) = e^x / x ve sadeleştirmelerle;
C1' + (1 + x)·C2' = 1 / x....(V)
(II) ve (V) denklem sistemi çözülürse (mesela taraf tarafa çıkarılırsa);
-C2' = 1 / x ⇒ C2' = -1 / x....(VI) ⇒ C2 = -ln(x) + K2.....(VII)
(VI) ifadesi (II) denklemindeki yerine konulup; C1' + (-1 / x)·x = 0 ⇒ C1' = 1 ⇒ C1 = x + K1....(VIII)
(VIII) ve (VII) sonuçları (I) çözümündeki yerlerine konulup artık tam genel çözüm olarak yazılabileceğinden;
y(x) = (e^x)·{ (x + K1) + [ ln(x) + K2) ]·x } aslında bu haliyle bırakmak yeterlidir ama WolframAlpha (WA) da memnun olsun diye biraz daha düzenlenirse;
y(x) = (e^x)·{ K1 + [ 1 + K2 + ln(x) ]·x }
y(x) = (e^x)·{ K1 + [ P2 + ln(x) ]·x } ve tekrar c cinsiden katsayılara dönülürse (bu sefer küçük harf)
y(x) = (e^x)·{ c1 + [ c2 + ln(x) ]·x } ve açılırsa;
y(x) = c1·(e^x) + c2·x·(e^x) + (e^x)·x·ln(x) olarak WA'nın verdiği sonuç bulunur.

WolframAlpha Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y''-2y'+y=(e^x) / x