Çözüldü Bernoulli Diferansiyel Denkleminde Başlangıç Şartına Göre Çözüm

y' - 4y = 2x·(y^2), y(0) = -4

https://www.facebook.com/photo?fbid=3606185252767817&set=gm.3863616707038517 (4 Numaralı Soru. 5 ve 6 numaralı olanlar da zaman bulundukça çözülecek.)
(Sorunun gönderildiği Facebook grubu 25 Eylül 2022 tarihinde "Private" duruma getirildiği için aslını ve varsa diğer çözümleri ancak üyeleri görebilir.)

[ y^(-2) ]·(y') - 4·[ y^(-1) ] = 2x
u = y^(-1) ⇒ du / dx = -[ y^(-2) ]·(y')
du / dx + 4u = -2x
u = k·v ⇒ du / dx = k·(dv / dx) + v·(dk / dx)
k·(dv / dx) + v·(dk / dx) + 4k·v = -2x
k·(dv / dx + 4v) + v·(dk / dx) = -2x
dv / dx + 4v = 0 ⇒ v = C1·[ e^(-4x) ]
C1·[ e^(-4x) ]·(dk / dx) = -2x
dk = (-2 / C1)·x·[ e^(4x) ]dx
k = (-2 / C1)·{ (1 / 16)·[ e^(4x) ]·(4x - 1) + C2 }
u = (-2 / C1)·{ (1 / 16)·[ e^(4x) ]·(4x - 1) + C2 }·C1·[ e^(-4x) ]
u = (-1 / 8)·(4x - 1) - 2C2·[ e^(-4x) ]
u = - { (4x - 1) + 16C2·[ e^(-4x) ] } / 8
u = -{ [ e^(4x) ](4x - 1) + 16C2 } / { 8·[ e^(4x) ] }
y^(-1)(x) = u = -{ [ e^(4x) ](4x - 1) + C } / { 8·[ e^(4x) ] }
y(x) = -8·[ e^(4x) ] / { [ e^(4x) ]·(4x - 1) + C }
y(0) = -4 = -8·1 / [ 1·(4·0 - 1) + C ] ⇒ C = 3
y(x) = -8·[ e^(4x) ] / { [ e^(4x) ]·(4x - 1) + 3 }

WolframAlpha Kontrolu:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/bernou11.png
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y' - 4y = 2x·(y^2), y(0) = -4