Çözüldü Bernoulli Diferansiyel Denkleminin Lineer Diferansiyel Denkleme İndirgenerek Çözümü

x·y' + y = (x^3)·(y^2)
(ayrıntıları merak eden öğrenciler olursa forumdaki çok benzer bir sürü çözümlü örneği inceleyebilirler.)

https://www.facebook.com/photo?fbid=3950151715017768&set=gm.2155971757873689
(3. Soru)
(Sorunun gönderildiği Facebook grubu 25 Eylül 2022 tarihinde "Private" duruma getirildiği için aslını ve varsa diğer çözümleri ancak üyeleri görebilir.)

y' + y / x = (x^2)·(y^2)
[ y^(-2) ]·(y') + { [ y^(-1) ] / x } = x^2
u = y^(-1) ⇒ du / dx = -[ y^(-2) ]·(y') ⇒ [ y^(-2) ]·(y') = -du / dx
du / dx - u / x = -x^2
u = k·v ⇒ du / dx = k·(dv / dx) + v·(dk / dx)
k·(dv / dx) + v·(dk / dx) - k·v / x = -x^2
k·(dv / dx - v / x) + v·(dk / dx) = -x^2
dv / dx - v / x = 0 ⇒ v = C1·x
k·0 + C1·x·(dk / dx) = -x^2
dk / dx = -x / C1 ⇒ k = -x^2 / (2C1) + C2
u = k·v = [ -x^2 / (2C1) + C2 ]·(C1·x) = -x^3 / 2 + C3·x = y^(-1)
y^(-1) = (2C3·x - x^3) / 2
y = 2 / (2C3·x - x^3)
y = -2 / (x^3 - 2C3·x)
y = -2 / (x^3 + K1·x)
y = -2 / [ x·(x^2 + K1) ]
y = -2 / [ x·(K1 + x^2) ]

WolframAlpha Kontrolu: (Aynı sonuç ama farklı katsayı kullanımıyla)

https://i.ibb.co/dpq6hKq/Difdenklem-WA.png
https://www.wolframalpha.com/input/?i=x·y' + y = (x^3)·(y^2)