Çözüldü Cebirsel İntegralde Trigonometrik Değişken Dönüşümü (YKS'de Yok)

Ohio State University'den doğru çözülmüş ancak sonucu hatalı verilmiş bir integral işleminin fen lisesi için klasik sınav uyarlaması:


https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/ohiost11.png

Yukarıda verilen çözümdeki hatayı gösterip integrali sadece trigonometrik dönüşümle ve sınır değerlerindeki değişimleri yazarak, integrasyon tablolarındaki hiçbir hazır eşitliği de kullanmadan sonucu bulunuz.

x = (1 / 2)·tan(θ) ⇒ dx = (1 / 2)·[ sec(θ) ]^2 dθ, θ1 = arctan(0) = 0, θ2 = arctan(2) dönüşümüyle integral,
[ alt sınır θ1 = 0, üst sınır θ2 = arctan(2) ], ∫ [ 2·tan(θ) + 6 ]·(1 / 2)·[ sec(θ) ]^2 dθ / { [ tan(θ) ]^2 + 1 } =
[ alt sınır θ1 = 0, üst sınır θ2 = arctan(2) ], ∫ { [ tan(θ ] + 3 }dθ =
[ alt sınır θ1 = 0, üst sınır θ2 = arctan(2) ], ∫ { [ sin(θ ] / [ cos(θ) ] + 3 }dθ....(I)
cos(θ) = t ⇒ sin(θ)dt = -dt, t1 = 1, t2 = 1 / √5 dönüşümüyle (I) integrali,
(alt sınır t1 = 1, üst sınır t2 = 1 / √5), -∫dt / t + [ alt sınır θ1 = 0, üst sınır θ2 = arctan(2) ], ∫ 3dθ =
(alt sınır t1 = 1, üst sınır t2 = 1 / √5), -|ln(t)| + [ alt sınır θ1 = 0, üst sınır θ2 = arctan(2) ], 3|θ| =
-[ ln(1 / √5) - ln(1) ] + 3·[ arctan(2) - 0 ] =
-{ ln(1) - ln[ 5^(1 / 2) ] - ln(1) } + 3·arctan(2) =
(1 / 2)·ln(5) + 3·arctan(2).

Not: Resimdeki çözümde ters trigonometrik fonksiyonlu terimin işareti yanlışlıkla "-" basılmış ve ∫dx / (x^2 + a^2) integrali de integrasyon tablolarından hazırlop alınmıştır.

WolframAlpha Kontrolu:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/ntegra17.png
https://www.wolframalpha.com/input?i=integrate (4x+6)dx/(4x^2+1) from x=0..1

Sorunun Aslı ve Çözümü:
https://math.osu.edu/sites/math.osu.edu/files/1152 Midterm 1 Form A Solutions.pdf
[Sayfa 8 (pdf dosyada 7), Soru 5.I]